矩阵微分方程

n = 2（2个状态变量）时，稳定条件为：过渡矩阵A的两个特征值均有负实部，等价于A的迹为负、行列式为正。

给定特征值为${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$的矩阵A，

${\displaystyle e^{\mathbf {A} t}=\sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf {P} _{j}}$

其中

${\displaystyle \mathbf {P} _{0}=\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}=\prod _{k=1}^{j}\left(\mathbf {A} -\lambda _{k}\mathbf {I} \right)=\mathbf {P} _{j-1}\left(\mathbf {A} -\lambda _{j}\mathbf {I} \right),\qquad j=1,2,\dots ,n-1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{1}=\lambda _{1}r_{1}}$

${\displaystyle r_{1}{\left(0\right)}=1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{j}=\lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},\qquad j=2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle r_{j}{\left(0\right)}=0,\qquad j=2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle r_{i}(t)}$的方程是简单的一阶非齐次常微分方程。

注意该算法并不要求矩阵A可对角化，并绕过了通常使用的若尔当标准形的计算。

第一步即找到A的特征值

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.}$

上面的导数记号x′等称为拉格朗日记法（由约瑟夫·拉格朗日提出，等同于前面方程里的dx/dt，这是莱布尼兹记法，得名于戈特弗里德·莱布尼茨）。

一旦两个变量的系数被写为上述矩阵形式A，就可估计特征值了。为此，可求矩阵行列式，即从上述系数矩阵中减去单位矩阵${\displaystyle I_{n}}$乘常数λ，再得到特征多项式

${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,}$

再解得其零点。

进一步简化、应用矩阵加法的基本规则，得出

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.}$

应用求单一2×2矩阵行列式的规则，可得下列一元二次方程

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0}$

${\displaystyle -21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!}$

可以进一步简化

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.}$

应用因式分解得到给定一元二次方程的两个根${\displaystyle \lambda _{1}}$、${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0}$

${\displaystyle \lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle (\lambda -1)(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle \lambda =1,-5~.}$

上面算出的${\displaystyle \lambda _{1}=1}$、${\displaystyle \lambda _{2}=-5}$即所求A的特征值。 矩阵ODE的特征值可能是复数，求解过程的下一步及最终形式和解法可能会有巨大变化。

第二步即找到A的特征向量。

对算出的每个特征值，都有单独的特征向量。例如对第一个特征值即${\displaystyle \lambda _{1}=1}$，有

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.}$

应用矩阵乘法规则简化上式，得到

${\displaystyle 3\alpha -4\beta =\alpha }$

${\displaystyle \alpha =2\beta ~.}$

所有计算都是为了得到最后一个式子，本例中就是α = 2β。现在任取一个无关紧要的小值（这样更容易处理），代入α = 2β中的α或β（选哪个并不重要），这样就得到了一个简单的向量，就是这个特定特征值所需的特征向量。在本例中，我们取α = 2，得β = 1。用标准的向量符号来写，向量是这样的

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.}$

对第二个特征值${\displaystyle \lambda =-5}$进行相同的计算，得到第二个特征向量，结果为

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

最后一步是找到“隐藏”在导数背后的所求函数。有两个函数，因为微分方程涉及两个变量。

方程包含之前得到的所有信息，形式如下：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.}$

代入特征值和特征向量，得到

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

简化

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.}$

再简化，分别写出函数x、y的方程

${\displaystyle x=2Ae^{t}+Be^{-5t}}$

${\displaystyle y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.}$

上述方程就是所求的一般函数，但只是一般形式（A、B的值未指定），但我们想找到它们的精确形式和解。因此现在，考虑问题的给定初始条件（即所谓初值问题）。假设给定了${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$，是ODE的起点；条件的应用指定了常数A、B。从条件${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$可以看出，t = 0时，上述方程的左式等于1，由此可构造下列线性方程组

${\displaystyle 1=2A+B}$

${\displaystyle 1=A+2B~.}$

求解这些等式，发现常数A、B都等于1/3。因此将这些值代入这两个函数的一般形式，就可以得到它们的精确形式

$${\displaystyle x={\tfrac {2}{3}}e^{t}+{\tfrac {1}{3}}e^{-5t}}$$

$${\displaystyle y={\tfrac {1}{3}}e^{t}+{\tfrac {2}{3}}e^{-5t}~,}$$

所求的两个函数。

上述问题可以直接应用矩阵指数法解决。也就是说，可以说

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right){\begin{bmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{bmatrix}}}$

给出了（可用MATLAB的expm工具包之类，或通过对角化，并利用对角矩阵的矩阵指数与元素的指数化相等这一特性来计算）

${\displaystyle \exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right)={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}}$

得到最终解

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-5t}/3+2e^{t}/3\\e^{t}/3+2e^{-5t}/3\end{bmatrix}}}$

这与之前展示的特征向量方法相同。