可对角化矩阵

关于可对角化映射和矩阵的基本事实可表达为如下:

• 在域 F 上的 n × n 矩阵 A 是可对角化的，当且仅当它的特征空间的和的维度等于 n，它为真当且仅当存在由 A 的特征向量组成的 Fⁿ 的基。如果找到了这样的基，可以形成有基向量作为纵列的矩阵 P，而 P ^-1AP 将是对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 A 的特征值。
• 线性映射 T : V → V 是可对角化的，当且仅当它的特征空间的维度等于 dim(V)，它为真当且仅当存在由 T 的特征向量组成的 V 的基。T 关于这个基将表示为对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 T 的特征值。

另一个特征化: 矩阵或线性映射在域 F 上可对角化的，当且仅当它的极小多项式在 F 上有不同的线性因子。

下列充分(但非必要)条件经常是有用的。

• n × n 矩阵 A 只在域 F 上可对角化的，如果它在 F 中有 n 个不同的特征值，就是说，如果它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。
• 线性映射 T : V → V 带有 n=dim(V) 是可对角化的，如果它有 n 个不同的特征值，就是说它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。

作为经验规则，在复数域 C 上几乎所有矩阵都是可对角化的。更精确地说: 在 C 上不可对角化的复数 n × n 矩阵的集合被当作 C^n×n 的子集，它是关于勒贝格测度的零集。也可以说可对角化矩阵形成了关于 扎里斯基拓扑的稠密子集 : 补位于特征多项式的判别式变为零的集合内，後者是超平面。从中得出的还有在平常的(强拓扑)中密度由范数给出。

对于 R 域就不是这样了。随着 n 增长，随机选择的实数矩阵是在 R 上可对角化的可能性越来越小。

• 对合在实数上(甚至特征不是 2 的任何域)是可对角化的，带有 1 和 -1 在对角线上。
• 有限阶自同态(包括对合)是在复数，或域的特征不整除自同态的阶的任何代数闭合域(因为单位一的根是不同的)是可对角化的，带有单位根在对角线上。这是循环群的表示理论的一部分。
• 投影是可对角化的，带有 0 和 1 在对角线上。

某些矩阵在任何域上都是不可对角化的，最著名的是幂零矩阵。如果特征值的几何重次和代数重次不一致，这会更一般的出现。例如考虑

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

这个矩阵是不可对角化的: 没有矩阵 U 使得 ${\displaystyle U^{-1}CU}$ 是对角矩阵。实际上，C 有一个特征值(就是零)而这个特征值有代数重次 2 和几何重次 1。

某些实数矩阵在实数上是不可对角化的。例如考虑

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

矩阵 B 没有任何实数特征值，所以没有实数矩阵 Q 使得 ${\displaystyle Q^{-1}BQ}$ 是对角矩阵。但是如果允許複數的話 ，${\displaystyle B}$仍可以对角化。实际上，如果我们取

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&{\textrm {i}}\\{\textrm {i}}&1\end{bmatrix}}}$

则 ${\displaystyle Q^{-1}BQ}$ 是对角的。

考虑矩阵

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}}$

这个矩阵有特征值

${\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1}$

所以 A 是有三个不同特征值的 3 × 3 矩阵，所以它是可对角化的。

如果我们要对角化 A，我们需要计算对应的特征向量。它们是

${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}\quad v_{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}\quad v_{3}={\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix}}}$

我们可以轻易的验证 ${\displaystyle Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}}$。

现在，设 P 是由这些特征向量作为纵列的矩阵:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}}$

则 P 对角化了 A，简单的计算可验证:

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

注意特征值 ${\displaystyle \lambda _{k}}$ 出现在对角矩阵中。

例如，考虑下列矩阵:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}}$

计算 M 个各次幂揭示了一个惊人的模式:

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots }$

上面的现象可以通过对角化 M 来解释。要如此我们需要由 M 的特征向量组成的 R² 的基。一个这样的特征向量基给出自

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}}$

这里的 e_i 指示 Rⁿ 的标准基。 逆的基变更给出自

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} }$

直接计算证实

${\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} }$

所以，a 和 b 是分别是对应于 u 和 v 的特征值。 根据矩阵乘法的线性，我们有

${\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\,\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\,\mathbf {v} }$

切换回标准基，我们有

${\displaystyle M^{n}\mathbf {e} _{1}=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1}}$

${\displaystyle M^{n}\mathbf {e} _{2}=M^{n}(\mathbf {v} -\mathbf {u} )=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =(b^{n}-a^{n})\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}}$

前面的关系用矩阵形式表达为

${\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}}}$

因此解释了上述现象。