虚数

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x軸的0點處，往上升方向可繪製y軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為${\displaystyle i\mathbb {R} }$，Im，${\displaystyle \mathbb {I} }$，或${\displaystyle \Im }$。

在該呈現圖示中，乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。${\displaystyle i}$的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式${\displaystyle i^{2}=-1}$可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了${\displaystyle -i}$也解出了方程${\displaystyle x^{2}=-1}$。一般來說，乘以複數與以複數辐角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

我們應該將根號視為求${\displaystyle x^{2}}$的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$實際上代表的是兩個數，分別為${\displaystyle +i}$及${\displaystyle -i}$。但若直接將${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$對應到${\displaystyle +i}$，而${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$對應到${\displaystyle -i}$也未嘗不可。

1. 不同的虛數都是不能比較大小的：${\displaystyle 1<2\,}$成立，但${\displaystyle 1+i<2+i\,}$和${\displaystyle i<2i\,}$卻均不成立。

舉例說明：（反證法）

假設${\displaystyle i>0\,}$

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$

得${\displaystyle -1>0\,}$即可看出矛盾。

再舉例：假設${\displaystyle i<0\,}$

平方得${\displaystyle i^{2}>0\,}$（不等式兩側同乘假設為負的${\displaystyle i}$，不等式由小於變為大於）

得${\displaystyle -1>0\,}$即可看出矛盾。

因此虛數或者說虛部不爲0的複數不能比較大小。

2. 因爲${\displaystyle i^{0}=1\,}$，${\displaystyle i^{1}=i\,}$，${\displaystyle i^{2}=-1\,}$，${\displaystyle i^{3}=-i\,}$，${\displaystyle i^{4}=1\,}$，${\displaystyle \cdots }$，很容易知道${\displaystyle i^{n}\,}$（${\displaystyle n\in \mathbb {N} \,}$）是關於指數${\displaystyle n\,}$的週期函數，最小正週期是${\displaystyle 4\,}$。於是，我們有

${\displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,}$

這表示${\displaystyle i\,}$為方程${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,}$的一個根，另三個根分別為${\displaystyle -i,-1\,}$及${\displaystyle 0\,}$。

另外可以證明

${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$

和

${\displaystyle {\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}$

爲下列方程的根

${\displaystyle x^{2}+x+1=0\,}$

${\displaystyle x^{3}=1\,}$

其中，${\displaystyle {\overline {\omega }}\,}$稱爲${\displaystyle \omega \,}$的共軛虛數（或共軛複數）。

3. 如果再將虛數的這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

• 虛數單位
• 複數
• 四元數
• 八元數

• 虛數i的介紹
• ${\displaystyle i^{7321}\,}$的計算方法舉例
• i作為-1的平方根