简单函数

对每个正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，把 ${\displaystyle [0,\,\infty )}$ 分成 ${\displaystyle 2^{2n}+1}$個區間，也就是取

${\displaystyle I_{n,k}=\left[k2^{-n},\,(k+1)2^{-n}\right)}$ ，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1}$。

以及

${\displaystyle I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty )}$

然後定义可测集合

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}$，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}$。

則可對每個正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 定義非負简单函数 ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to [0,\,\infty )}$ 如下

${\displaystyle f_{n}(\omega )=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}(\omega )}$

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列 ${\displaystyle {\{f_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }}$ 。

這樣的話，取任意 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ， 都存在正整數 ${\displaystyle n_{\omega }\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{n_{\omega }}>f(\omega )}$

這樣的話，只要 ${\displaystyle n>n_{\omega }}$ 的話，都會存在正整數 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle k2^{-n}\leq f(\omega )<(k+1)2^{-n}}$

所以有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}}$

再考慮到，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$ ，都存在正整數 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{m}\epsilon >1}$

所以總結一下，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$，取正整數 ${\displaystyle n>\operatorname {max} \{m,\,n_{\omega }\}}$ ，就會有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}<\epsilon }$

所以簡單函數序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ 的確會逐点收敛至 ${\displaystyle f}$。

注意到若 ${\displaystyle f}$ 是有界的，那存在一個跟點 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ 選取無關的正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 使得

${\displaystyle 2^{n}>f(\omega )}$

那這樣的話，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$，取正整數 ${\displaystyle n^{\prime }>\operatorname {max} \{m,\,n\}}$，就會得到一致收斂。${\displaystyle \Box }$