簡單多邊形

簡單多邊形是歐幾里德平面中由線段組成的閉合曲線，這些線段首尾相連形成多邊形鏈。在這個多邊形鏈中，除了因連續線段的關係，共用了線段端點，以及多邊形鏈的首尾共用線段端點之外，任何兩個線段都不能彼此相交。[1]有時候，簡單多邊形的「簡單」這個修飾詞會被省略，並假定「多邊形」代表的是簡單多邊形。[2]

形成多邊形的線段稱為稜或邊。線段的端點稱為頂點[1]或角。邊和頂點是更正式的術語，但在同時涉及圖論的圖之邊和頂點的情境中可能會有歧義；更口語的術語「稜」和「角」可以用來避免這種歧義。[3]每個頂點恰好是兩條邊的交點，且邊的數量始終等於頂點的數量。[1]有些文獻來源允許兩個線段形成平角（180度、π弧度）[4]，但也有些來源不允許平角的頂角，而是要求形成平角的兩條邊要合併成一條較長的邊。[5]如果兩個頂點是多邊形某條對應之線段的兩個端點，則稱這兩個頂點相鄰。[6]

簡單多邊形有時稱為若爾當多邊形，因為簡單多邊形是一種若尔当曲线；若尔当曲线定理可以用來證明簡單多邊形將平面分成兩個區域。[7]事實上，卡米尔·若尔当對該定理的原始證明以簡單多邊形的特殊情況（沒有證明的情況下陳述）作為起點。[8]根據若尔当－薛弗利斯定理，多邊形內部的區域[1]形成一個拓樸上等價於開圓盤的有界集[9]，具有有限但非零的面積。[10]簡單多邊形的拓樸結構等價於圓形[11]，其外部區域為無界連通開集，並具有無限大的面積。[10]儘管簡單多邊形的正式定義通常是一系列線段的系統，但也可以（在非正式用法中很常見）將簡單多邊形定義為平面中的封閉集，即包含多邊形內部的這些線段之聯集。[1]

簡單多邊形的對角線是該多邊形任兩個頂點所連成的線段，簡單多邊形的對角線必定完全位於多邊形內部。[12]

在簡單多邊形中，某個頂點的內角為該頂點與相鄰的兩條邊在多邊形內部所跨的角度。若頂點的內角小於180度（平角，π弧度），則稱該頂點為凸頂點；若內角大於180度則稱該頂點為凹頂點。若頂點的內角為θ，並且小於180度，則該頂點的外角定義為其補角180度−θ（π弧度−θ），即從一個有向邊轉動到下一個有向邊的轉角。外角在凸頂點處為正，在凹頂點處為負。對於每個簡單多邊形，外角之和為360度（一整圈，2π弧度），因此，對於具有n條邊的簡單多邊形，內角總和為n減2的結果乘上180度（(n−2)π弧度）。[13]

已經三角化的簡單十一邊形：三角化的9個三角形來自有11條邊和8條對角線

每個簡單多邊形都可以透過部分的對角線將之劃分為內部不相交的若干個三角形。當簡單多邊形有n條邊時，這樣的分割需要使用到n−3條對角線，並分割成n−2個三角形。由此產生的分割稱為多邊形的三角剖分。[7]已經被三角剖分的簡單多邊形可以由多邊形的內角和共用對角線的兩個三角形所形成之四邊形的交比來唯一確定。[14]

根據雙耳定理，每個非三角形的簡單多邊形都有兩個耳，即有兩個有此特性的頂點：該頂點相鄰兩頂點的對角線完全位於多邊形內部。[7]一個相關定理指出，每個非凸的簡單多邊形都有一個嘴，即有一個有此特性的頂點：該頂點相鄰兩頂點的對角線完全位於多邊形外部。恰好有兩個耳和一個嘴的多邊形稱為擬人多邊形。[15]

從放置在4個標記頂點的攝影機可以完全看到這個多邊形藝術畫廊中的42個頂點

根據美術館定理，在有n個頂點的簡單多邊形中，總是可以找到最多${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$個具有以下屬性之頂點的子集：在這些選定的頂點上可見所有其他頂點（美術館定理的概念就是最少需要多少位守衛站在哪些位置才能無死角地監視整個美術館，所以對應概念就是多邊形裡的每一個頂點都可以和這個頂點子集裡的其中一個頂點連成一線[16]）。這意味著，對於多邊形中的每個點p都存在一條只經過多邊形內部點的p與那些選定頂點其中一點相連的線段。證明這一點的一種方法是在多邊形的三角剖分上使用圖形著色：總是可以用三種顏色對頂點進行著色，使得三角剖分中的每條邊或對角線都有兩個不同顏色的端點。多邊形的每個點對於每種顏色的頂點都是可見的，例如在所選的三角剖分中包含了三角形三個頂點中的其中一個頂點。其中一種顏色最多被${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$個頂點使用，因此證明了這個定理。[17]

所有凸多邊形都是簡單多邊形。另一類重要的簡單多邊形是星狀多邊形（不是星形多邊形，星形多邊形可能有自我相交的情況，此處指的是星形外觀的多邊形），該多邊形存在一個從每個頂點皆可見的點，這個點可能是在內部或邊界上。[1]

單調多邊形是相對於直線L而言，每條垂直於L的直線都只穿過該多邊形一次（例如星狀多邊形就有可能會穿過多邊形的兩個不同的部分，也就是穿過兩次）。等價地，單調多邊形是一個邊界可以分為兩個單調多邊形鏈的多邊形，這兩個多邊形鏈的子序列頂點投影到直線L上時，在直線L上的順序與在多邊形鏈中的順序相同。[18]

• 複雜多邊形
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• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.