类五边形形

这一家族开始于一维多胞形，结束于n = 5 时的四维双曲空间堆砌。

这里有两大类型的类五边形形，即所谓类十二面体形和类二十面体形，也是以其三维成员命名的。这两种类型的类五边形形互为对偶。

类十二面体形

类十二面体正多胞形的全列表如下：

1. 线段，{ }
2. 正五边形，{5}
3. 正十二面体，{5, 3}（12个正五边形面）
4. 正一百二十胞体，{5, 3, 3}（120个正十二面体胞）
5. 三阶正一百二十胞体堆砌，{5, 3, 3, 3}：四维双曲空间镶嵌（∞个正一百二十胞体超胞）

每一个类十二面体正多胞形的维面都是前一维的类十二面体正多胞形。其顶点图是前一维的正单纯形。

类十二面体形

n	考克斯特群	皮特里多边形 投影	名称 考克斯特-迪肯符号 施莱夫利符号	维面	元素
					顶点	棱	面	胞	4-胞
1	${\displaystyle H_{1}}$		线段 { }	2 点	2
2	${\displaystyle H_{2}}$		正五边形 {5}	5 线段	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$		正十二面体 {5, 3}	12 正五边形	20	30	12
4	${\displaystyle H_{4}}$		正一百二十胞体 {5, 3, 3}	120 正十二面体	600	1200	720	120
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$		三阶正一百二十胞体堆砌 {5, 3, 3, 3}	∞ 正一百二十胞体	∞	∞	∞	∞	∞

类二十面体形

类二十面体正多胞形的全列表如下：

1. 线段，{ }
2. 正五边形，{5}
3. 正二十面体，{3, 5}（20个正三角形面）
4. 正六百胞体，{3, 3, 5}（120个正四面体胞）
5. 五阶正五胞体堆砌，{3, 3, 3, 5}：四维双曲空间镶嵌（∞个正五胞体超胞）

每一個類二十面體形的維面皆屬於該多胞形之維度少一維度之單純形。 它們的頂點圖是該類二十面體形少一維的類比。

類二十面體形

n	考斯特群	皮特里多邊形 投影	名稱 考克斯特符號 施萊夫利符號	維面	元素
					頂點	邊	面	胞	超胞
1	${\displaystyle H_{1}}$		线段 { }	2 頂點	2
2	${\displaystyle H_{2}}$		五邊形 {5}	5 邊	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$		正二十面體 {3, 5}	20 正三角形	12	30	20
4	${\displaystyle H_{4}}$		正六百胞體 {3, 3, 5}	600 正四面體	120	720	1200	600
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$		五阶正五胞体堆砌 {3, 3, 3, 5}	∞ 正五胞體	∞	∞	∞	∞	∞

• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 （页面存档备份，存于）
  • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Table I(ii): 16 regular polytopes {p, q,r} in four dimensions, pp. 292–293)