納維-斯托克斯存在性與光滑性

初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$假設是光滑及无散度的函數，使得對於每一個多重指標${\displaystyle \alpha }$及${\displaystyle K>0}$，存在一常數${\displaystyle C=C(\alpha ,K)>0}$（此常數會依${\displaystyle \alpha }$及K而變化）使得

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }$對於所有${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

外力${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$假設也是一個光滑函數，滿足一個非常類似的不等式（此時多重指標也包括時間的導數）：

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }$ 對於所有 ${\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

考慮其實際的物理意義，此條件下的解需是光滑函數，當${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$時不會快速增加。更精準地說，有以下的假設：

1. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. 存在一常數${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ 使得${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}$ 對於所有的 ${\displaystyle t\geq 0\,.}$

條件1表示此函數為光滑、全局定義的函數，條件2表示此解的動能在全局中有上下界。

(A) 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$空間下納維-斯托克斯方程式解的存在性及光滑性

令${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$。對於所有符合上述假設的初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$，納維-斯托克斯方程式存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度向量${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$及壓強${\displaystyle p(x,t)}$滿足上述的條件1及2。

(B) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$下納維-斯托克斯方程式解存在性的反證

存在一初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$及外力${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$使得納維-斯托克斯方程式不存在一解滿足上述條件1及2。

此處的函數需滿足對於位置變數的週期性，其週期為1。更精準地說，令${\displaystyle e_{i}}$為j方向的單位向量：

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}$

則${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$對位置變數有週期性也就表示對於任何的${\displaystyle i=1,2,3}$，以下的式子均成立：

${\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

因此方程式不是在整個空間，而是在一商空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$，也就是一個3維環面：

${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}$

有上述的說明後，可以說明需要的假設。初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$假設是一個光滑及无散度的函數，外力也是一個光滑函數。滿足以下的條件：

3. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {T} ^{3}\times [0,\infty ))}$

4. 存在一常數${\displaystyle E\in (0,\infty )}$使得${\displaystyle \int _{\mathbb {T} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E}$對於所有${\displaystyle t\geq 0\,.}$

和之前的條件類似，條件3表示函數是光滑及全局定義，條件4表示此解的動能在全局中有上下界。

(C)${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$空間下納維-斯托克斯方程式解的存在性及光滑性

令${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$，對於任何滿足上述假設的初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$，納維-斯托克斯方程式存在一光滑及全局定義的解，就是存在一速度向量${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$及壓強${\displaystyle p(x,t)}$滿足上述的條件3及條件4。

(D)${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$下納維-斯托克斯方程式解存在性的反證

存在一初始條件${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$及外力${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$使得納維-斯托克斯方程式不存在一解滿足上述條件3及條件4。