線性泛函

假设实坐标空间Rⁿ内的向量用列向量来表示：

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

那么这些坐标中的任何线性泛函都可以用以下形式的和来表示：

${\displaystyle f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}.}$

这仅仅是行向量[a₁ ... a_n]与列向量${\displaystyle {\vec {x}}}$的矩阵乘积：

${\displaystyle f({\vec {x}})=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

线性泛函首先出现在泛函分析——函数的向量空间的研究中。线性泛函的一个典型的例子是积分：由黎曼積分所定义的线性变换

${\displaystyle f\mapsto I(f):=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

是由${\displaystyle C[a,b]}$（在${\displaystyle [a,b]}$上定義的連續函數）的向量空間映射到${\displaystyle \mathbb {R} }$線性泛函。I(ƒ)的线性可以从积分的基本事实推出：

${\displaystyle I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx}$

${\displaystyle =\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)}$

${\displaystyle I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx}$

${\displaystyle =\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)}$

以 ${\displaystyle P_{n}}$ 表示定義在區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的不超过${\displaystyle n}$ 次的實值多項式。 若${\displaystyle c\in [a,b]}$，則設計值泛函（英語：）${\displaystyle ev_{c}:P_{n}\to \mathbb {R} }$：

${\displaystyle ev_{c}f=f(c).}$

映射ƒ → ƒ(c)是线性的，因为：

${\displaystyle (f+g)(c)=f(c)+g(c)}$

${\displaystyle (\alpha f)(c)=\alpha f(c).}$

若 ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$ 是${\displaystyle [a,b]}$ 上的不同點，那么${\displaystyle ev_{x_{i}}}$ 是${\displaystyle P_{n}}$ 對偶空間的一個基。（Lax (1996)以拉格朗日插值法證明此。）

以上定义的积分泛函I定义了次数不超过n的多项式的子空间P_n上的线性泛函。如果x₀，……，x_n是[a,b]内n+1个不同的点，那么存在系数a₀，……，a_n，使得对于所有的ƒ ${\displaystyle \in }$ P_n，都有：

${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$

这形成了数值积分理论的基础。

这可以从以上定义的线性泛函P_n的对偶空间的基的事实推出（Lax 1996）。

线性泛函在量子力学中特别重要。量子力學系統以跟其對偶空間共軛同構的希爾伯特空間表示。系統的一個態可以一線性泛函表示。詳見狄拉克符號。

在廣義函數的理論，分佈可以視為測試函數空間的線性泛函。

以V*表示V的對偶空間，對於一有限維向量空間V，V與V*同構。

設V有基${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}}$，……，${\displaystyle {\vec {e}}_{n}}$，不一定正交。那么，V*具有一個基（稱為對偶基）${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},\ {\tilde {\omega }}^{2}}$, … , ${\displaystyle \ {\tilde {\omega }}^{n}}$，可以這樣構作：

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{j}^{i}}$

其中δ是克羅內克函數。此處的上標並非冪而是反變。

属于对偶空间${\displaystyle {\tilde {V}}}$的线性泛函${\displaystyle {\tilde {u}}}$可以表示为基泛函的线性组合，其系数（“分量”）为u_i：

${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}}$

于是，把泛函${\displaystyle {\tilde {u}}}$应用于基向量e_j，得：

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))}$

这是由于泛函的标量倍数的线性，以及泛函的和的逐点线性。那么：

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i}u_{i}({\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j}))=\sum _{i}u_{i}\delta ^{i}{}_{j}=u_{j}}$

也就是说：

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=u_{j}.}$

最后一个方程说明了线性泛函的各个分量可以通过把泛函应用于对应的基向量来获取。

当空间V带有内积时，可以明确写出给定基的对偶基的一个公式。设V具有（不一定正交的）基${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}}$。在三维空间内（n = 3），对偶基可以明确写成：

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2}\,\left\langle {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon ^{ijk}\,({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle .}$

对于i=1，2，3，其中${\displaystyle \epsilon \,\!}$是列维-奇维塔符号，${\displaystyle \langle ,\rangle }$是V上的内积（或数量积）。

在高维空间中，可以推广如下：

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\epsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle }$

其中${\displaystyle \star }$是霍奇星算子。

如果有度规结构${\displaystyle {g}}$，就会产生一个V到V*的同构映射${\displaystyle {f}}$. 当基向量${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2}}$，……，${\displaystyle {\vec {e}}_{n}}$是在度规${\displaystyle {g}}$下的标准正交基的时候, ${\displaystyle f({\vec {e}}_{i})={\tilde {\omega }}^{i}=g(-,{\vec {e}}_{i})}$ 来充当对偶基。 当是正交基的时候用${\displaystyle {\frac {g(-,{\vec {e}}_{i})}{g({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{i})}}}$来充当对偶基。 正是因为有度规产生的同构存在就没有必要再提对偶空间了。