群同態

我们定义${\displaystyle h}$的核被映射到${\displaystyle H}$中单位元${\displaystyle e_{h}}$上的${\displaystyle G}$中元素的集合

${\displaystyle \mathrm {ker} (h)=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}}$

定义${\displaystyle h}$的像为

${\displaystyle \mathrm {im} (h)=\{h(u):u\in G\}}$

核是${\displaystyle G}$的正规子群（事实上，${\displaystyle h\left(g^{-1}ug\right)=h(g)^{-1}h(u)h(g)=h(g)^{-1}e_{H}h(g)=e_{H}}$)，而像则是${\displaystyle H}$的子群。同态${\displaystyle h}$是单射（并叫做单同态）当且仅当${\displaystyle \mathrm {ker} (h)=\{e_{G}\}}$。

同态的核和像可以被解释为对它接近于同构的程度。第一同构定理说明了群同态的像${\displaystyle \mathrm {im} (h)}$同构于商群${\displaystyle G/\mathrm {ker} (h)}$。

• 考虑带有加法的循环群${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{0,1,2\}}$和整数集${\displaystyle \mathbb {Z} }$的群。映射${\displaystyle h:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$，有${\displaystyle h(u)}$为${\displaystyle u}$ 模以3，是群同态。它是滿射并且它的核由被三整除的所有整数构成。

• 指数映射产生从带有加法的实数集${\displaystyle R}$的群到带有乘法的非零实数集${\displaystyle R^{*}}$的群的群同態。核是${\displaystyle \{0\}}$而像由正实数组成。

• 指数映射还产生从带有加法的复数集${\displaystyle C}$的群到带有乘法的非零复数集${\displaystyle C^{*}}$的群的同态。这个映射是满射并且有核${\displaystyle \{2\pi ki:k\in \mathbb {Z} \}}$，这可以从欧拉公式得出。

• 给定任何两个群${\displaystyle G}$和${\displaystyle H}$，映射${\displaystyle h:G\to H}$，把所有${\displaystyle G}$的元素对应到${\displaystyle H}$的单位元，是同态；它的核是集合${\displaystyle H}$。

• 给定任何群${\displaystyle G}$，恒等映射${\displaystyle \mathrm {id} :G\to G}$定义为对于${\displaystyle G}$中所有的${\displaystyle u}$，${\displaystyle \mathrm {id} (u)=u}$。恒等映射是群同态。

如果${\displaystyle h:G\to H}$和${\displaystyle k:H\to K}$是群同态，则${\displaystyle h\circ k:G\to K}$也是群同态。这证明所有群构成的类，和态射即群同态，一起构成一个范畴。

如果同态${\displaystyle h}$是双射，则你还可以证明它的逆映射仍是同态，这种${\displaystyle h}$叫做群同构；在这种情况下，群${\displaystyle G}$和${\displaystyle H}$被称为是“同构的”:它们只在元素的符号上有差异而对于所有实践用途都是同一的。

如果${\displaystyle h:G\to G}$是群同态，我们称之为${\displaystyle G}$的自同态。如果它进一步的是双射并且因此是同构，则称为自同构。群${\displaystyle G}$的所有自同构的集合，带有函数复合作为运算，自身形成一个群，叫做${\displaystyle G}$的自同构群，记为${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$。例如说，${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$的自同构群只有两个元素，恒等变换和乘以${\displaystyle -1}$；它同构于${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$。

满同态是满射的同态，单同态是单射的同态。

如果${\displaystyle G}$和${\displaystyle H}$是阿贝尔群（就是交换群），则所有从${\displaystyle G}$到${\displaystyle H}$的群同态的集合${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,H)}$自身是阿贝尔群：两个同态的和${\displaystyle h+k}$定义为

对于所有${\displaystyle G}$中${\displaystyle u}$，${\displaystyle (h+k)(u)=h(u)+k(u)}$。

${\displaystyle H}$的交换律对于证明${\displaystyle h+k}$也是群同态是必需的。同态的加法在如下意义上兼容于同态的复合：如果${\displaystyle f}$在${\displaystyle \mathrm {Hom} (K,G)}$中，${\displaystyle h}$, ${\displaystyle k}$是${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,H)}$的元素，并且${\displaystyle g}$在${\displaystyle \mathrm {Hom} (H,L)}$中，则

${\displaystyle (h+k)\circ f=(h\circ f)+(k\circ f)}$，并且${\displaystyle g\circ (h+k)=(g\circ h)+(g\circ k)}$。

这证明了一个阿贝尔群的所有自同态的集合${\displaystyle \mathrm {End} (G)}$形成了一个环，即${\displaystyle G}$的自同态环。例如，由两个${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$的直积构成的阿贝尔群（克莱因四元群）的自同态群同构于带有${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$内元素的${\displaystyle 2\times 2}$ 矩阵的环。上述兼容性还证明所有阿贝尔群带有群同态的范畴形成了预加法范畴；存在直积和良定义的核使这个范畴成为阿贝尔范畴的原型。

• 同态基本定理

• Lang, Serge, , Graduate Texts in Mathematics 211 3rd, Springer-Verlag, 2002.

• . PlanetMath.