自由粒子

古典自由粒子的特點是它移動的速度${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$是不變的。它的動量${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$是

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!}$。

其中，${\displaystyle m\,\!}$是粒子的質量。

能量${\displaystyle E\,\!}$是

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!}$。

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常數，${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$是粒子的波函數，${\displaystyle \mathbf {r} }$是粒子的位置，${\displaystyle t}$是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$是波向量，${\displaystyle \omega }$是角頻率。

將這公式代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega \,\!}$。

由於粒子存在的機率等於1，波函數${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!}$必須歸一化，才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。

動量的期望值是

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \Psi |-i\hbar \nabla |\Psi \rangle =\hbar \mathbf {k} \,\!}$。

能量的期望值是

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle \Psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =\hbar \omega \,\!}$。

代入波向量${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$與角頻率${\displaystyle \omega \,\!}$的關係方程，可以得到熟悉的能量與動量的關係方程：

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\langle p\rangle ^{2}}{2m}}\,\!}$。

波的群速度${\displaystyle v_{g}\,\!}$定義為

${\displaystyle v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} p}}=v\,\!}$；

其中，${\displaystyle v\,\!}$是粒子的經典速度。

波的相速度${\displaystyle v_{p}\,\!}$定義為

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {p}{2m}}={\frac {v}{2}}\,\!}$。

在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以波包函數表示為

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} \,\!}$；

其中，積分區域${\displaystyle \mathbb {K} }$是${\displaystyle \mathbf {k} }$-空間。

為了方便計算，只考虑一維空間，

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k\,\!}$；

其中，振幅${\displaystyle A(k)\,\!}$是量子疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數表示為

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,\ 0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x\,\!}$；

其中，${\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!}$是在時間${\displaystyle t=0\,\!}$的波函數。

所以，知道在時間${\displaystyle t=0\,\!}$的波函數${\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!}$，通過傅立葉轉換，可以推導出在任何時間的波函數${\displaystyle \Psi (x,t)\,\!}$。

相對論性的自由粒子的量子行為，需要用特別的方程專門描述：

• 克莱因-戈尔登方程描述中性的，自旋為零的，相對論性的自由粒子的量子行為。
• 狄拉克方程描述相對論性的電子（自旋為${\displaystyle 1/2\,\!}$）的量子行為。

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