可表函子

设 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为局部小范畴，并记集合范畴为 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 。对 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的每个对象 ${\displaystyle A}$ 以 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$ 指代将对象 ${\displaystyle X}$ 映到集合 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,X)}$ 的Hom函子。

函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ 是可表的当存在某个 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的对象 ${\displaystyle A}$ 使得 ${\displaystyle F}$ 自然同构于 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$。而满足

${\displaystyle \Phi$ :\operatorname {Hom} (A,-)\to F}

为自然同构的对 ${\displaystyle (A,\Phi )}$ 则称为 ${\displaystyle F}$ 的一个表示。

从 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的反变函子 ${\displaystyle G}$ 不过是（协变）函子 ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$，常被称作预层。与协变的情况相似，预层是可表的当它自然同构与某个反变的Hom函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (-,A)}$，其中 ${\displaystyle A}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的某个对象。

根据米田引理，从 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,-)}$ 到 ${\displaystyle F}$ 的自然变换与集合 ${\displaystyle F(A)}$ 一一对应。给定自然变换 ${\displaystyle \Phi$ :\operatorname {Hom} (A,-)\to F} ，与之对应的元素 ${\displaystyle u\in F(A)}$ 由

${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,}$

给出。反之，给定元素 ${\displaystyle u\in F(A)}$，可以如下定义自然变换 ${\displaystyle \Phi$ :\operatorname {Hom} (A,-)\to F}

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)(u),\,}$

其中 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,X)}$ 中的任意元素。为了得到 ${\displaystyle F}$ 的表示，我们需要确定 ${\displaystyle u}$ 诱导的自然变换何时会是同构。这引导出如下定义：

函子 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ 的泛元素是由 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的对象 ${\displaystyle A}$ 与 ${\displaystyle F(A)}$ 中的元素 ${\displaystyle u}$ 组成的一对 ${\displaystyle (A,u)}$，使得对于任意满足' ${\displaystyle v\in F(X)}$ 的对 ${\displaystyle (X,v)}$，都存在唯一映射 ${\displaystyle f:A\to X}$ 使得 ${\displaystyle (Ff)(u)=v}$ 。

泛元素还可看作从单点集合 ${\displaystyle \{\cdot \}}$ 到函子 ${\displaystyle F}$ 的泛态射，又或者看作 ${\displaystyle F}$ 的元素范畴中的始对象。

这样，由元素 ${\displaystyle u\in F(A)}$ 诱导的自然变换是自然同构当且仅当 ${\displaystyle (A,u)}$ 是 ${\displaystyle F}$ 的泛元素。由此可以得出 ${\displaystyle F}$ 的表示与 ${\displaystyle F}$ 的泛元素之间的一一对应。为此，泛元素 ${\displaystyle (A,u)}$ 常常也被称为表示。

• 考虑反变函子 ${\displaystyle P:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }$，将集合映到其冪集、将函数映到其原像映射。要表示这个函子，我们需要一对 ${\displaystyle (A,u)}$，其中 ${\displaystyle A}$ 是集合而 ${\displaystyle u}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的子集（即 ${\displaystyle P(A)}$ 中的元素），使得对于任意集合 ${\displaystyle X}$，态射集合 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,A)}$ 通过函数 ${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Pf)u=f^{-1}(u)}$ 与 ${\displaystyle P(X)}$ 双射。取 ${\displaystyle A=\{0,1\}}$ 及 ${\displaystyle u=\{1\}}$，那么给定任意子集 ${\displaystyle S\subseteq X}$，对应的函数 ${\displaystyle X\to A}$ 正是 ${\displaystyle S}$ 的示性函数。
• 映到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的遺忘函子常常是可表的。特别地，每当 ${\displaystyle A}$ 是由单个生成元 ${\displaystyle u}$ 组成的单元素集合上的自由對象，遗忘函子都由 ${\displaystyle (A,u)}$ 所表示，如：
  • 群范畴上的遗忘函子 ${\displaystyle \mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} }$ 由 ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,1)}$ 所表示。
  • 环范畴上的遗忘函子 ${\displaystyle \mathbf {Ring} \to \mathbf {Set} }$ 由整系数单变元多项式环 ${\displaystyle (\mathbb {Z} [x],x)}$ 所表示。
  • ${\displaystyle k}$-向量空间范畴上的遗忘函子 ${\displaystyle k{\textrm {-}}\mathbf {Vect} \to \mathbf {Set} }$ 由 ${\displaystyle (k,1)}$ 所表示。
  • 拓撲空間範疇上的遗忘函子 ${\displaystyle \mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$ 由单元素拓扑空间和其唯一元素所表示。
• 群 ${\displaystyle G}$ （甚至广群）可以视作只有单个对象（记作 ${\displaystyle \cdot }$）的范畴。从这个范畴 ${\displaystyle G}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的每个函子都对应于一个 ${\displaystyle G}$-集合；其中从 ${\displaystyle G}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 唯一的Hom函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\,\cdot \,,-)}$ 对应于底集合为 ${\displaystyle G}$、作用为 ${\displaystyle G}$ 中左乘法的典范 ${\displaystyle G}$-集合。借助群论中的标准论证可知从 ${\displaystyle G}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 函子可表当且仅当其对应的 ${\displaystyle G}$-集合为正则的（即自由且可递；这类 ${\displaystyle G}$-集合也称为 ${\displaystyle G}$-旋子或堆），而为这个函子选择一个表示即相当于为这个堆选择一个恒等元。
• 设 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 为对象是CW复形、态射为连续映射的同伦类的范畴。对于每个自然数 ${\displaystyle n}$ 存在一个反变函子 ${\displaystyle H^{n}:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab} }$，将每个CW复形映到其 ${\displaystyle n}$ 阶（整系数）上同调群。与阿贝尔群范畴上的遗忘函子复合后即得到一个从 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ 的反变函子。代数拓扑中的布朗可表性定理声明这个函子可由一个CW复形 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ 所表示；这个CW复形被称为艾伦伯格-麦克兰恩空间。

泛态射和伴随函子这两个范畴论概念都可以用可表函子表达。

设 ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ 为函子，${\displaystyle X}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的对象。那么 ${\displaystyle (A,\varphi )}$ 是从${\displaystyle X}$ 到 ${\displaystyle G}$ 的泛态射当且仅当 ${\displaystyle (A,\varphi )}$ 是函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,G-):{\mathcal {D}}\to \mathbf {Set} }$ 的表示。由此可知 ${\displaystyle G}$ 带有左伴随（记为 ${\displaystyle F}$）当且仅当函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,G-)}$ 对于任意 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的对象 ${\displaystyle X}$ 都可表。此外，伴随正由自然同构 ${\displaystyle \Phi _{X}:\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,-)\to \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,G-)}$ 给出，即：

${\displaystyle \Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)}$

对于所有${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$ 都是（自然的）双射。

与之对偶的陈述也成立：设 ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 为函子，${\displaystyle Y}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 中的对象。那么那么 ${\displaystyle (A,\varphi )}$ 是从${\displaystyle F}$ 到 ${\displaystyle Y}$ 的泛态射当且仅当 ${\displaystyle (A,\varphi )}$ 是函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(F-,Y):{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$ 的表示。由此可知 ${\displaystyle F}$ 带有右（记为 ${\displaystyle G}$）伴随当且仅当函子 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(F-,Y)}$ 对于任意 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 中的对象 ${\displaystyle Y}$ 都可表。

• Mac Lane, Saunders. . Graduate Texts in Mathematics 5 2nd. Springer. 1998. ISBN 0-387-98403-8.