广群

广群是具备一元运算${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$与偏函数${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$的集合G，当中的*不是二元运算，因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算*、⁻¹有以下公理性质：${\displaystyle \forall a,\ b,\ c\in G}$：

1. 结合律：若定义了${\displaystyle a*b,\ b*c}$，则${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$。
2. 逆元：${\displaystyle a^{-1}*a}$、${\displaystyle a*{a^{-1}}}$总有定义。
3. 单位元：若定义了${\displaystyle a*b}$，则${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a;\ {a^{-1}}*a*b=b}$。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$；
• 若定义了${\displaystyle a*b}$，则${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$。[3]

广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。[1]更明确地说，广群G是对象集合${\displaystyle G_{0}}$，其中

• 每对对象x、y，都有从x到y的态射（或箭头）的（可能是空）集合${\displaystyle G(x,\ y)}$，其中的元素写作${\displaystyle f:\ x\to y;}$
• 每个对象x，${\displaystyle G(x,\ x)}$的指定元素${\displaystyle \mathrm {id} _{x};}$
• 对任意三个元素x、y、z都有函数${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf;}$
• 对任意两个元素x、y都有函数${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;}$
  • ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$、${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f;}$
  • ${\displaystyle (hg)f=h(gf);}$
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$、${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}.}$

若${\displaystyle f\in G(x,\ y)}$则称x为f的源，记作${\displaystyle s(f)}$；y称作f的目标，记作${\displaystyle t(f)}$。广群G有时记作${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$，当中${\displaystyle G_{1}}$是所有态射的集合，两个箭头${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$代表源和目标。

更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。

代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令G为所有集合${\displaystyle G(x,\ y)}$的不交并（即x到y的态射的集合）；则${\displaystyle \mathrm {comp} }$、${\displaystyle \mathrm {inv} }$就成了G上的偏运算，而${\displaystyle \mathrm {inv} }$事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为${\displaystyle \mathrm {comp} }$、⁻¹为${\displaystyle \mathrm {inv} }$，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及${\displaystyle G_{0}}$（及${\displaystyle \mathrm {id} }$）。

反过来，给定代数定义的广群G，用${\displaystyle \sim }$定义其元素上的等价关系： ${\displaystyle a\sim b}$，若${\displaystyle a*a^{-1}=b*b^{-1}.}$令G₀为${\displaystyle \sim }$的等价类集合，即${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$。若${\displaystyle a\in G}$且${\displaystyle x\in G_{0}}$，用${\displaystyle 1_{x}}$记a ∗ a⁻¹。

现在定义${\displaystyle G(x,y)}$为所有使${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$存在的f的集合。给定${\displaystyle f\in G(x,y),\ g\in G(y,z),}$其组合定义为${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z).}$这是良定义的，因为可观察到${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$、${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$都存在，${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$也存在。这样，x的恒等态射就是${\displaystyle 1_{x}}$，f的范畴论逆是f⁻¹。

上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。

给定广群G，其中的顶点群或迷向群或轨道群是${\displaystyle G(x,\ x)(x\in G)}$的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。

广群G在点${\displaystyle x\in X}$处的轨道由集合${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$给出，当中包含了可用G中的态射连接到x的每个点。若x、y两点在相同的轨道上，则它们的顶点群G(x)、G(y)群同构：若${\displaystyle f:\ x\to y}$，则同构由${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为传递的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。

${\displaystyle G\rightrightarrows X}$的子广群是子范畴${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即${\displaystyle \forall x,y\in Y}$都有${\displaystyle X=Y}$或${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$，则也称其为宽或满。

广群映射简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若${\displaystyle \forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to ,}$都有${\displaystyle e\in E:\ x\to }$，使得${\displaystyle p(e)=b}$，则广群的态射${\displaystyle p:E\to B}$称作纤维化。若这样的e是唯一的，则纤维化称作覆盖态射或广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。[4] 同样，给点广群B的覆盖态射范畴，等同于广群B对对集合的作用范畴。

给定拓扑空间X，令${\displaystyle G_{0}}$为集合X。从点p到点q的态射是p到q的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。 先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X的基本广群，记作${\displaystyle \pi _{1}(X)}$（有时是${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$）。[5]通常的基本群${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$于是就是点x的顶点群。

基本广群${\displaystyle \pi _{1}(X)}$的轨道是X的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$，其中${\displaystyle A\subset X}$是选定的基点集合。当中${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$是${\displaystyle \pi _{1}(X)}$的（宽）子广群，这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。

若X是集合体，即具有等价关系${\displaystyle \sim }$的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：

• 广群对象是X的元素；
• ${\displaystyle \forall x,\ y\in X,}$有单态射${\displaystyle (y,x):\ x\to y}$，当且仅当${\displaystyle x\sim y}$；
• ${\displaystyle (z,y)}$与${\displaystyle (y,x)}$的组合是${\displaystyle (z,x)}$。

这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

• X每个元素若都与X的其他元素有联系，则就得到了X的对广群，其以整个${\displaystyle X\times X}$作为箭头集，且是传递的。
• X每个元素若只与自身有关系，就得到了单位广群，其以X为箭头集，${\displaystyle s=t=id_{X}}$，是完全不传递的（每个单子${\displaystyle \{x\}}$都是轨道）。

• 若${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$是光滑流形的光滑满射浸没，则${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$是等价关系[6]，因为在拓扑空间的满射下，Y与${\displaystyle X_{0}}$的商拓扑拓扑同构。若记${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$则可得广群

  ${\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

  有时称为光滑流形的满射浸没的平庸广群。
• 若放宽自反性要求、考虑偏等价关系，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作PER模型。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯。

切赫广群[6]^:5是一类特殊的广群，与某个流形X的开覆盖${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$所给出的等价关系相关联。其对象由不交并

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}$

给出，其箭头是相交

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}$.

源映射与目标映射由诱导映射给出

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

包含映射

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

则给出了广群的结构。实际上，还可设置

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

为n次迭代的纤维积来进一步扩展，其中${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

是笛卡儿图，其中到${\displaystyle U_{i}}$的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

对某个阿贝尔群之常数层可表为函数

${\displaystyle \sigma$ :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}

给出了上同调类的明确表示。

若群G作用于集合X，则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群：

• 对象是X的元素；
• ${\displaystyle \forall x,\ y\in X}$，态射${\displaystyle x\to y}$对应${\displaystyle g\in G}$，使得${\displaystyle gx=y}$；
• 态射的复合解释了G的二元运算。

更明确地说，作用广群是小范畴${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$、${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$，源映射和目标映射分别为${\displaystyle s(g,x)=x}$、${\displaystyle t(g,x)=gx}$。通常表示为${\displaystyle G\ltimes X}$（对于右作用记为${\displaystyle X\rtimes G}$）。广群中的乘法（或组合）就是${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$，定义条件是${\displaystyle y=gx}$。

${\displaystyle \forall x\in X}$，顶点群由${\displaystyle gx=x}$的${\displaystyle (g,x)}$组成，这只是给定作用在x处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。

另一种描述G集合的方法是函子范畴${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$，当中${\displaystyle \mathrm {Gr} }$是1个元素的广群（范畴），同构于群G。事实上，这个范畴的每个函子F都定义了集合${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} );\ \forall g\in G}$（即对${\displaystyle \mathrm {Gr} }$中的每个态射）诱导了双射${\displaystyle F_{g}}$：${\displaystyle X\to X}$。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$是G的凯莱表示。事实上，这个函子与${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$同构，因此将${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$送到集合${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$，后者的定义就是“集合”G和${\displaystyle \mathrm {Gr} }$的态射g（即G的元素g）到集合G的置换${\displaystyle F_{g}}$。由米田嵌入推导出：群G同构于G的置换群的子群${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$。

考虑${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$在有限集${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$上的群作用，其将每个数取负，于是${\displaystyle -2\mapsto 2}$、${\displaystyle 1\mapsto -1}$。商广群${\displaystyle [X/G]}$是这个群作用的等价类集合${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$，${\displaystyle [0]}$在其上有群作用${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$。

任何映射到${\displaystyle GL(n)}$的有限群G都会在仿射空间${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$，有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$及其子空间，如卡拉比-丘轨形。

给定具有广群态射的广群图

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle f:X\to Z}$、${\displaystyle g:Y\to Z}$，可组成广群${\displaystyle X\times _{Z}Y}$，其对象为三元组${\displaystyle (x,\phi ,y)}$，其中${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X),\ y\in {\text{Ob}}(Y),\ \phi :f(x)\to g(y),\ \in Z}$。态射可定义为一对态射${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$，其中${\displaystyle \alpha :x\to x',\ \beta :y\to y'}$，使得对三元组${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y'),\ Z}$中有${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x'),\ g(\beta ):g(y)\to g(y'),\ \phi ,\phi '}$的交换图。[7]

具体阿贝尔范畴中对象的二项复形

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

可形成广群。其对象是集合${\displaystyle C_{0}}$，箭头是集合${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$；源映射只是到${\displaystyle C_{0}}$的映射，目标映射是对${\displaystyle C_{1}}$与d的组合跟到${\displaystyle C_{0}}$的映射的加法。也就是说，给定${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$，有

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。

魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。[8]

数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。[9][10][11]这一广群作用作用于构型。

马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M₁₂的一个副本。

包含态射${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$有左右伴随函子：

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

当中，${\displaystyle C[C^{-1}]}$表示反转每个态射的范畴局部化，${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$表示所有同构的子范畴。

神经函子${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。

神经有左伴随

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

当中${\displaystyle \pi _{1}(X)}$表示单纯集X的基本广群。

广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即双重广群。[13][14]因为Grpd是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

的广群${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$，以及由恒等函子

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$与${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

其中${\displaystyle a}$是同一个态射，则可以垂直相连，得到图

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。