西羅定理

設p是一個質數；則可定義G的西羅p-子群（或者稱為p-西羅子群），其為G的p-子群中最大的一個(即其為G的p-群，且不為其他G的p-子群的真子群)。

西羅p-子群所組成的集合記為Syl_p(G)。 Syl_p(G)之中群的差異在群論的討論中是可以忽略的。更明確地說，在Syl_p(G)內的每個群彼此間同構；這性質也同時回過頭來決定了G的其他性質。

以下定理由挪威數學家彼得·盧德維格·梅德爾·西羅首次於1872年提出並證明，刊載於《Mathematische Annalen》中。

給定一有限群G，則可以將|G|可以寫成pⁿ ${\displaystyle \cdot }$ s 的形式

其中|G|表示G的階，n為正整數，且p不為s的質因數。

定理1：存在一個階為pn的子群H，使得H為G的西羅p-子群。

下面的推論比起定理1較為狹義

推論：對任意有限群G，及任意|G|的質因數p，則在G之中，存在一個階為p的元素。

上述推論又稱作柯西定理，由柯西首次證明

定理2：若H是G的子群，I為G的p-西羅子群，其中|H|=pk，k 為正整數，則存在一個G中的元素a使得aHa-1為I的子群。

從這可以推論出，所有G的西羅p-子群彼此共軛（且因共軛可得到同構），即若H、K皆為G的西羅p-子群，則存在一個於G內的元素g，使得g⁻¹Hg = K。

定理3：設np為G的西羅p-子群的数量且有${\displaystyle n_{p}\equiv 1\;(mod\;p)\;\;and\;\;n_{p}|s}$

特別地是，上述表示著每個西羅p-子群都會有相同的目pⁿ；相反地，若一個子群有pⁿ目，則其為一個西羅p-子群，且會同構於每個其他的西羅p-子群。基於質數最大次方的條件，若H為G的任一個p-子群，則H會為一個有pⁿ目之p-子群的子群。

定理3的一個很重要結論為n_p=1的條件會等價於描述此一G的西羅p-子群是一個正規子群。（存在沒有正規西羅子群但有正規子群的群，如S₄。）

設G為一個其目為15 = 3 · 5的群，則n₃必須整除5，且n₃=1 mod 3。其中唯一滿足上述限制的值只有1；因此，只存在一個其目為3的子群，且其必須為正規子群（因為其沒有其他的共軛）。相似地，n₅會整除3，且n₅=1 mod 5；因此亦只有一個其目為5的正規子群。當3和5為互質時，此兩個子群的交集為平凡群{e}，所以G必須要是個循環群。因此，只存在一個其目為15的群（以同構來分），標記為Z/15Z。

舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個其目為350的簡單群。若|G| = 350 = 2 · 5² · 7，則n₅必須整除14=2·7，且n₅ = 1 mod 5。因此，n₅=1（因為6和11都不會整除14），而因此G必然會有一個其目為5²的正規子群，故不可能為簡單群。

西羅定理的證明利用了群作用的許多概念。群G會以許多種方式作用在其自身或其p-子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於1959年H.Wielandt所發表之整合的論述。在下面的論述中，用a|b來表示「a會整除b」，而a ${\displaystyle \nmid }$ b則用來表示「a不可整除b」。

定理1：一個其目|G|可以被一質數次方p^k整除的有限群G會有一個其目為p^k的子群。

證明：設|G|=p^km，p^r ${\displaystyle \mid }$m且 p^r+1 ${\displaystyle \nmid }$m 。记Ω為G的元素个数為p^k之子集所組成的集合，可知|Ω| = ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}}$及p^r+1 ${\displaystyle \nmid }$ ${\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}}$，基於之前r的選定。令G以左乘積作用於Ω上，則基於r之選定，會存在一個於Ω內的A，其具有一個會使p^r+1 ${\displaystyle \nmid }$ |θ|之軌道θ=A^G。這裡會有|θ| = |A^G| = [G : G_A]的關係，其中G_A標示為集合A的穩定子子群，因此p^k | |G_A|，故p^k ≤ |G_A|。注意在G_A的作用下之於A內的兩個元素a和ga可能為不同個的，所以|A| ≥ |G_A|。由上述p^k ≤ |G_A|和|A| ≥ |G_A|兩個結果，故知|G_A| = p^k。然後，G_A即為此一想要的群。

引論: 設G為一個有限p-群，將G作用於一個有限集合Ω上，及令Ω₀為在G的作用下為固定之Ω內的點所組成之集合。然後可知|Ω| ≡ |Ω₀| mod p。

證明：將Ω寫成在G下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在Ω內的元素x若在G的作用下不固定的話，其將會在其目為|G|/|G_x|之軌道上（其中G_x為穩定子），此目依題目的假設會是p的倍數（不可能為1，因為其目為1的軌道即為在G的作用下固定的點）。因此結論立即就出來了。

定理2：若H是G的子群且|H|=p^s，以及P為G的p-西羅子群，則存在一個在G內的元素a會使得aHa^-1為P的子群。特別地是，所有G的西羅p-子群都會共軛（且因此同構）於另一個，即若H和K為G的西羅p-子群，則存在一個G內的元素g會使得g⁻¹Hg = K。

證明：設Ω為G內P的左陪集所組成的集合，及H以左乘積作用在Ω上。應用H於Ω上的引理，可知|Ω₀| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定義可知p ${\displaystyle \nmid }$ [G : P]，所以p ${\displaystyle \nmid }$ |Ω₀|，且因為|Ω₀| ≠ 0，故會存在一些gP ∈ Ω₀。因此對每個於H內的元素h，hgP = gP，故g⁻¹hgP = P且g⁻¹hg ∈ P，且因此h ∈ gPg⁻¹，故H會包含於某些G內元素g之gPg⁻¹內。若H為一個西羅p-子群，則|H| = |P| = |gPg⁻¹|，因此對某些在G內的g，H = gPg⁻¹。

定理3：設q為一有限群G的任一西羅p-子群的目，則n_p | |G|/q且n_p ≡ 1 mod p。

證明：依定理2，n_p = [G : N_G(P)]，其中P為任一個子群且N_G(P)為於G內P的正規化子，可知此數為|G|/q的因數。令Ω為所有G的西羅p-子群所組成的集合，且P以共軛作用於Ω上。設Q ∈ Ω₀並可知對所有x ∈ P，Q = xQx⁻¹，因此P ⊆ N_G(Q)。依定理2，P和Q會於N_G(Q)內共軛，尤其是Q會在N_G(Q)為正規，故可知P = Q。由上可知Ω₀ = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω₀| = 1 mod p。

由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由William Kantor證明出一個西羅p-子群可以在輸入數量的多項式時間內被找到。

• Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
• H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.