西梅翁·德尼·泊松

下一個（可能有些觀點認為是第一個）最重要的是天體力學的備忘錄，其中他證明自己是拉普拉斯的當之無愧的繼任。這些備忘錄中最重要的是《關於行星平均運動的久期不均等》（Sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes）、《關於力學問題中任意常數的變化》（Sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique），都發表於理工學院期刊（1809年）；《關於月球的天平動》（Sur la libration de la lune），發表於《時間的知識》（Connaiss. des temps, 1821年），等等；以及《關於地球圍繞其重心的運動》（Sur la mouvement de la terre autour de son centre de gravité），發表於《科學院備忘錄》（Mém. d. l'acad., 1827年），等等。在這些備忘錄中的第一本，泊松討論了行星軌道的穩定性的著名問題，在第一階近似在擾動力作用下的情況已經被拉普拉斯解決。泊松表明可以擴展到二階近似，從而作出了行星理論的重要進步。該備忘錄是引人注目的，它還刺激了拉格朗日，使得他在一段不活躍時期之後，在他晚年寫出了他的備忘錄中最重要的之一，題為《關於行星因素變化的理論，特別是它們軌道主軸的變化》（Sur la théorie des variations des éléments des planètes, et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites）。他對泊松的備忘錄如此重視，以至於他親手抄了一份，在死後被發現在他的論文堆中。泊松作出了引力理論的重要貢獻。

他著名的對勢的拉普拉斯的偏微分方程的二階修正：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-4\pi \rho \;}$

今天以他命名為泊松方程或者叫位勢論方程，最初發表於Bulletin de in société philomatique (1813年)。如果給定點的函數ρ = 0，我們得到了拉普拉斯方程：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0\;}$

1812年，泊松發現拉普拉斯方程只在固體之外是正確的。可變密度的質量的情況的嚴格證明由高斯於1839年第一次給出。兩個方程在向量代數中都​​有對應。從給定其梯度的散度ρ(x, y, z) 得到的標量場導出三維空間的泊松方程：

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\rho (x,y,z)\;}$

例如，對於曲面電勢Ψ的泊松方程，顯示對於電荷密度ρ_e在特定點的依賴性：

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi ={\partial ^{2}\Psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial z^{2}}=-{\rho _{e} \over \varepsilon \varepsilon _{0}}\;}$

流體中的電荷分佈是未知的，我們必須使用泊松-波爾茲曼方程：

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi ={n_{0}e \over \varepsilon \varepsilon _{0}}\left(e^{e\Psi (x,y,z)/k_{B}T}-e^{-e\Psi (x,y,z)/k_{B}T}\right),\;}$

它在多數情形下無法求得解析解，但是對於特殊情況可以。在極坐標下，泊松－波爾茲曼方程為：

${\displaystyle {1 \over r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d\Psi \over dr}\right)={n_{0}e \over \varepsilon \varepsilon _{0}}\left(e^{e\Psi (r)/k_{B}T}-e^{-e\Psi (r)/k_{B}T}\right)\;}$

它也不能解析求解。如果場 φ 不是一個標量，泊松方程是正確的，例如在四維閔可夫斯基空間：

${\displaystyle \square \phi _{ik}=\rho (x,y,z,ct)\;.}$

若ρ(x, y, z)是連續函數而若對於r→∞ （或者當一個點“移向”無窮遠），函數φ趨向0足夠快，泊松方程的一個解是函數ρ(x, y, z)的牛頓勢：

${\displaystyle \phi _{M}=-{1 \over 4\pi }\int {\rho (x,y,z)\,dv \over r}\;}$

其中r為具有體積dv的元和點M的距離。

積分跑遍整個空間。泊松積分可用於求解拉普拉斯方程的狄利克雷（Dirichlet）問題的格林函數，如果圓是所求區域：

${\displaystyle \phi (\xi ,\eta )={1 \over 4\pi }\int _{0}^{2\pi }{R^{2}-\rho ^{2} \over R^{2}+\rho ^{2}-2R\rho \cos(\psi -\chi )}\phi (\chi )\,d\chi \;}$

其中

${\displaystyle \xi =\rho \cos \psi ,\;}$

${\displaystyle \quad \eta =\rho \sin \psi .\;}$

φ(χ)在圓圈上給定，定義了拉普拉斯方程要求的函數φ的邊界條件。

同樣，我們可以定義空間拉普拉斯方程∇² φ = 0的迪力克雷問題的格林函數，如果求解的區域是半徑為R的球。這次，格林函數為：

${\displaystyle G(x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta )={1 \over r}-{R \over r_{1}\rho }\;,}$

其中

${\displaystyle \rho ={\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}}}$

是點(ξ, η, ζ)到球心的距離；r是點(x, y, z)和(ξ, η, ζ)的距離；r₁是點(x, y, z)和點(Rξ/ρ, Rη/ρ, Rζ/ρ)的距離，對於點(ξ, η, ζ)對稱。

泊松積分現在形為：

${\displaystyle \phi (\xi ,\eta ,\zeta )={1 \over 4\pi }\int \!\!\!\int _{S}{R^{2}-\rho ^{2} \over Rr^{3}}\phi \,ds\;.}$

泊鬆在該主題上的最重要的兩個備忘錄是《關於類球體的引力》（Sur l'attraction des sphéroides） (Connaiss. ft. temps, 1829年)和《關於均勻橢球體的引力》（Sur l'attraction d'un ellipsoide homogène） (Mim. ft. l'acad., 1835年)。當結束我們從他的物理備忘錄的節選時，我們來提一下他的波動理論備忘錄(Mém. ft. l'acad., 1825年)。

在純數學方面，他最著名的工作是他在定積分上的一系列備忘錄，和他關於傅立葉級數的討論，它為狄利克雷和黎曼在同一主題上的經典研究鋪平了道路；這些可以在理工學院從1813年到1823年的《期刊》中找到。他也研究了傅立葉積分。此外，我們也可以提一下他關於變分法的文章（Mem. de l'acad., 1833年），以及他在觀測平均值的概率方面的備忘錄（Connaiss . d. temps, 1827年, &c）。 概率論中的泊松分佈以他命名。

在他的《力學專論》（Traité de mécanique） (2 vols. 8vo, 1811年及1833年)中，他採用拉普拉斯和拉格朗日的風格寫作，是一部標準的著作，他展示了很多新的技巧，例如衝量坐標的顯式使用：

${\displaystyle p_{i}={\partial T \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}\;}$

它影響了哈密爾頓和雅可比的工作。

在他的備忘錄之外，帕松發表了一些論述，多數準備用來撰寫一部數學物理的重要作品，但是他未能在生前完成。值得一提的有：

• 《毛細運動新論》（Théorie nouvelle de l'action capillaire，4卷，1831年）
• 《熱量的數學理論》（Théorie mathématique de la chaleur'​​'，4卷，1835年）
• 上書的增補（4卷，1837年）
• 《刑事和民事審判中的概率學研究》（Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matiere civile，4卷，1837年）

全都發表於巴黎。

1815年泊松進行了複平面的路徑積分。 1831年，他獨立於克洛德-路易·納維耶導出了納維－斯托克斯方程。