泊松代数

辛流形上实值光滑函数组成一个泊松代数。辛流形上每个实值函数 ${\displaystyle H}$ 在此流形上产生一个向量场 ${\displaystyle X_{H}}$，即哈密顿向量场。然后给定此辛流形上任何光滑函数 ${\displaystyle F}$ 与 ${\displaystyle G}$，它们的泊松括号 {,} 定义为

${\displaystyle \{F,G\}=dG(X_{F})\,.}$

这个定义是一致的是因为此泊松括号是一个导子。等价地，可以将 {,} 定义为

${\displaystyle X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,}$

这里 [,] 是李导数。当辛流形是带着标准辛结构的 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$，则泊松括号取如下熟知的形式

${\displaystyle \{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.}$

可对泊松流形进行类似的考虑，它允许辛双向量在流形的某些位置消没。

李代数的张量代数具有泊松代数结构。泛包络代数条目中给出了非常明确的构造。

构造过程中，首先要建立李代数底层向量空间的张量代数。张量代数，简单来说就是向量空间所有张量积的不交并（直积 ⊕)）。这样就可证明，李括号可被一致地提升到整个张量代数：其服从积律，又遵循泊松括号的雅可比同一性，因此提升后的李括号就是泊松括号。这样，一对积{,}、⊗就构成了泊松代数。注意⊗不交换也不反交换，只服从结合律。

因此，可得这样的一般结论：任何李代数的张量代数都是泊松代数。通过模得泊松代数结构，就得到了泛包络代数。

如果 A 是一个结合代数，则交换子 [x,y]≡xy−yx 使它成为一个泊松代数。

对一个顶点算子代数 ${\displaystyle (V,Y,\omega ,1)}$，空间 ${\displaystyle V/C_{2}(V)}$ 是一个泊松代数，其中 ${\displaystyle \{a,b\}=a_{0}b}$ 而 ${\displaystyle a\cdot b=a_{-1}b}$。对某些定点算子代数，这个泊松代数是有限维的。