诺特定理

上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。

定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷，而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。

诺特定理实际上是边界条件和变分原理的关系的反映。假设作用量没有边界项，诺特定理意味着

${\displaystyle \int _{\partial N}ds_{\mu }J^{\mu }=0.}$

诺特定理是一个在壳定理。诺特定理的量子化版本是沃德-高桥恒等式。

假定有两个对称性求导Q₁和Q₂。则[Q₁,Q₂]也是一个对称性求导。显式地来看

${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$

及

${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$

(这个是否离壳或仅仅在壳成立无关紧要）。则，

${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]=\partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$

其中f₁₂=Q₁[f₂^μ]-Q₂[f₁^μ]。所以，

${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\phi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\phi ]])-f_{12}^{\mu }.}$

这表明可以（简单地）将诺特定理扩张到更大的李代数上。

这个推理可以应用到任何求导过程Q，不只是对称性求导，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依赖于场的更高阶的导数以及非局部作用量的情况。令ε为任意时空（或时间）流形的光滑函数，满足其支撑的闭包和边界不交。ε是一个测试函数。则根据变分原理（附带说一下，它不适用于边界），由q[ε][φ(x)]=ε(x)Q[φ(x)]生成的求导分布q满足q[ε][S]=0对于任何在壳的ε成立，或者可以简写为q(x)[S]对于所有不在边界上的x（注意q(x)是求导分布的简写，通常不是用x参数化的求导）。这就是诺特定理的一般化。

要看出这个一般化和上面的版本如何对应，可以假设作用量就是只依赖于φ及其一阶导数的时空积分。并且，假设

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f^{\mu }}$

（离壳或仅仅在壳都可以）。则，

${\displaystyle q[\epsilon ][S]=\int d^{d}xq[\epsilon ][{\mathcal {L}}]}$

${\displaystyle =\int d^{d}x\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{\mathcal {L}}\right)\epsilon Q[\phi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\epsilon Q[\phi ])}$

${\displaystyle =\int d^{d}x\epsilon \partial _{\mu }{\Bigg \{}f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]{\Bigg \}}}$

对于所有ε成立。

更一般地讲，如果拉格朗日量依赖于高阶导数，则

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}\right]\partial _{\nu }Q[\phi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]\right]-\,\cdots \right]=0.}$

考慮一个特殊情况：

设有一个质量为m，坐标为x，在势能V影响下运动，坐标为t的牛顿粒子。其作用量S为：

${\displaystyle S[x]\,}$	${\displaystyle =\int {\mathcal {L}}[x(t),{\dot {x}}(t)]dt}$
	${\displaystyle =\int \left\{{\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}(t){\dot {x}}^{j}(t)-V[x(t)]\right\}dt}$

（也即，在一个弯曲黎曼空间（但不是弯曲时空）中运动的一个牛顿质点，该空间度量为g，质点势能为V）。

取Q为时间平移的生成元。换句话说，${\displaystyle Q[x(t)]={\dot {x}}(t)}$。 [量子场理论学家经常在方程右边加上一个因子i]。 注意

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=mg_{ij}{\dot {x}}^{i}{\ddot {x}}^{j}-{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}V(x){\dot {x}}^{i}.}$

这有如下形式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right]}$

所以可以令

${\displaystyle f={\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x).}$

则，

${\displaystyle j\,}$	${\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}^{i}}}{\mathcal {L}}\right)Q[x]-f}$
	${\displaystyle =mg_{ij}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{i}-\left[{\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right]}$
	${\displaystyle ={\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}+V(x).}$

可以认出右边就是能量，而诺特定理就是说${\displaystyle {\dot {j}}=0}$ （也即，能量守恒就是时间平移的不变性的结果）。

更一般的来讲，若拉格朗日量不显式依赖于时间，如下物理量

${\displaystyle \sum _{i}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}^{i}}}{\mathcal {L}}\right){\dot {x^{i}}}-{\mathcal {L}}}$

（称为哈密顿量）是守恒的。

继续使用一维时间。这次，令

${\displaystyle S[{\vec {x}}]\,}$	${\displaystyle =\int dt{\mathcal {L}}[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)]}$
	${\displaystyle =\int dt\left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}({\dot {\vec {x}}}_{\alpha })^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha })\right]}$

也即N个势能只依赖于两两相对位移的牛顿质点。

对于${\displaystyle {\vec {Q}}}$，考虑平移变换的生成元（也即坐标系的变换）。换句话说，

${\displaystyle Q_{i}[x_{\alpha }^{j}(t)]=\delta _{i}^{j}.}$

注意

${\displaystyle Q_{i}[{\mathcal {L}}]=0}$

所以令

${\displaystyle {\vec {f}}=0.}$

则，

${\displaystyle {\vec {J_{i}}}=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}[{\vec {x}}_{\alpha }]-{\vec {f}}}$

${\displaystyle =\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }^{i}}$

诺特定理表明${\displaystyle {\dot {\vec {J_{i}}}}=0}$ (说明每个方向上的总动量守恒来自该方向上的平移不变性).

上面的两个例子都是在一维流形（时间）上的。下面来探討一个时空中的例子，若考虑(3＋1)-闵可夫斯基时空中的无质量有一个四次势的标量场的共形变换。

${\displaystyle S[\phi ]\,}$	${\displaystyle =\int d^{4}x{\mathcal {L}}[\phi (x),\partial _{\mu }\phi (x)]}$
	${\displaystyle =\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -\lambda \phi ^{4}\right)}$

取Q为时空缩放的生成元。换句话说，

${\displaystyle Q[\phi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)+\phi (x).}$

右手边的第二项是由于φ的“共形权重”。注意

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\phi \left(\partial _{\mu }\phi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +\partial _{\mu }\phi \right)-4\lambda \phi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\phi +\phi \right).}$

这有以下形式（其中进行了空指标的变换）

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\phi \partial _{\nu }\phi -\lambda x^{\mu }\phi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)}$

並令以下

${\displaystyle f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.\,}$

则，

${\displaystyle j^{\mu }=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\phi ]-f^{\mu }}$

${\displaystyle =\partial ^{\mu }\phi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\phi +\phi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\phi \partial _{\nu }\phi -\lambda \phi ^{4}\right).}$

诺特定理表明${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}$ （可以直接将欧拉－拉格朗日方程代入左边验证）。

（註：如果要找出该方程的沃德-高桥版本，会遇到异常问题。）