費馬點

三角形的内角都小于120°的情况：

首先证明CC'、BB'、AA'三条线交于一点。

设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的，三角形C'AC可以看做是三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角${\displaystyle \angle \mathrm {C'PB} }$等于60度，和${\displaystyle \angle \mathrm {C'AB} }$相等。因此，A、B、C'、P四点共圆。同样地，可以证明A、B'、C、P四点共圆。于是：

${\displaystyle \angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }}$

从而${\displaystyle \angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }}$。于是可以得出：A'、B、C、P四点共圆，即

${\displaystyle \angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }}$

${\displaystyle \angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }}$

A、A'、P三点共线。也就是说CC'、BB'、AA'三条线交于一点。[6][7]^:90

接下来证明交点P就是到三个顶点距离之和最小的点。

在线段AA'上选择一点Q，使得QP = PC。由于${\displaystyle \angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }}$，所以等腰三角形PQC是正三角形。于是${\displaystyle \angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'} }$。同时QC = PC、BC = A'C，于是可以得出三角形BPC和三角形A'QC是全等三角形。所以QA' = PB。综上可得出：

PA + PB + PC = AA'

对于平面上另外一个点P'，以P'C为底边，向下作正三角形P'Q'C。运用类似以上的推理可以证明三角形BP'C和三角形A'Q'C是全等三角形。因此也有：

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A'

平面上两点之间以直线长度最短。因此

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A' ≥ AA' = PA + PB + PC.

也就是说，点P是平面上到点A、B、C距离的和最短的一点。[6][2]^:124-125

最后证明唯一性。

如果有另外一点P'使得P'A + P'B + P'C = PA + PB + PC，那么

AA' = AP' + P'Q' + Q'A'

因此点P'和Q'也在线段AA'之上。依照P'和Q'的定义，可以推出

${\displaystyle \angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }}$

因此P'也是CC'、BB'、AA'三条线的交点。因此P'点也就是P点。因此点P是唯一的。[7]^:92

有一内角大于120°的情况。

如右图， ${\displaystyle \angle \mathrm {BAC} }$大于120°，P为三角形内一点。以BA为底边，向上作正三角形BAF；以PA为底边，向上作正三角形PAQ。于是三角形AQF和三角形APB是全等三角形。FQ = PB。所以

PA + PB + PC = FQ + QP + PC.

延长FA交QC于D点，则

FQ + QP + PC > FQ + QC = FQ + QD + DC > FD + DC = FA + AD + DC > FA + AC = AB + AC.

即PA + PB + PC > AB + AC.

所以A点到三顶点的距离比三角形内任意一点到三顶点的距离都小，即A点为费马点。

费马点问题还可以推广到高维空间中。比如说在n维实向量空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中，给定m个点：p₁ , p₂ , ... , p_m，对空间中另一点x，设它到前述m个点的欧几里德距离之和为函数Dist(x)：

${\displaystyle \operatorname {Dist} (x)=\sum _{i=1}^{m}\|x-p_{i}\|}$

则费马点问题就变成寻找使得Dist(x)最小的一点p_min ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[9]^:236-237。与平面费马点问题相似，高维情况下的费马点问题也有由林德罗夫和斯图姆证明的类似结论[9]^:237：

1. 使得Dist(x)最小点p_min并且是唯一的。
2. 如果从任何一点p_i到剩下的m-1点方向上的m-1个单位向量的向量和长度都大于1，那么：
   • p_min不是p₁ , p₂ , ... , p_m中任何一点，
   • 从p_min到p₁ , p₂ , ... , p_m方向上的m个单位向量的向量和是0。
3. 如果从某一点p_i到剩下的m-1点方向上的m-1个单位向量的向量和长度小于等于1，那么p_min就是这个点。

对于加权的费马点问题，也有类似的结论，只需将上述结论中的向量和替换为加权向量和，条件中的1也要替换为对应点的权重[9]^:249-250。