質數冪

質數冪是質數的自乘積。每一個質數冪（2的冪次除外）都有一個原根，因此整數模的整数模n乘法群pⁿ是循環群。

有限域元素的總數一定是質數冪，相對的，質數冪一定是某一個有限域元素的個數（頂多有同构的差異）。

質數冪的一個特性常用在解析数论中：質數冪的集合中，不是質數的元素倒數和收斂，而質數的倒數和則發散。

質數冪的欧拉函数（φ）及除數函數（σ₀）和σ₁可以用下式計算：

${\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

所有的質數冪都是次方数（質數除外），質數冪不可能是楔形數、佩服數。

2的冪的數都是殆完全數。

所有的質數冪都是亏数。質數冪pⁿ是n次殆素数。還不確定質數冪是否可以是相亲数，若有這樣的數，pⁿ一定大於10¹⁵⁰⁰，且n一定大於1400。