微分学

若f是在ℝ（或是其他開區間）內的可微函数，而x是f有局部最小值或是局部最大值的位置，則f在x處的導數為零。滿足f'(x) = 0的點稱為臨界點或是驻点（則f在x處的值稱為臨界值）。若f沒有處處可微的特性，則f不可微的點也稱為臨界點。

若f是二次可微，則f的臨界點x可以用f在x的二次導數來分析：

• 若二次導數為正，則x是局部最小值
• 若二次導數為負，則x是局部最大值
• 若二次導數為零，則x可能是局部最小值、是局部最大值，也可能都不是（例如，f(x) = x³在x = 0處為臨界點，但不是局部最小值也不是局部最大值，而 f(x) = ± x⁴在x = 0處為臨界點，分別是局部最小值及局部最大值）

上述作法稱為二次導數測試。一次導數測試是另一種分析方式，考慮f'在臨界點前後的符號變化。

取導數，並且求解臨界點是要找局部最小值或最大值的最簡單作法，常應用在最优化中。根據极值定理，連續函數在閉區間內至少會有一次局部最小值及局部最大值。若函數可微，其局部最小值及局部最大值只會出現在臨界點或是端點上。

取局部最小值及局部最大值也可以在函數圖形的繪制上：只要找到可微分函數的局部最小值、局部最大值以及位，可以根據觀察函數在各臨界點之間的趨勢來繪制簡圖。

在高維度的空間中，标量函數的臨界點是其梯度為0的點。仍然可以用二次導數測試來分析臨界點，作法是考慮函數在臨界點上二階導數形成海森矩阵的特征值。若所有特徵值都為正，此點為局部最小值；若所有特徵值都為負，此點為局部最大值；若部份為正，部份為負，表示臨界點為鞍點；不過若有部份特徵值為零，則無法以此方式判斷。

最佳化問題的一個例子是：找到在一曲面上，通過曲面上二點的最短路徑。若是在平面上，其最短路徑是直線。不過若曲面是較複雜的形狀（例如蛋形），最短路问题的解就不是那麼直觀了，此路徑稱為测地线，而這也是最佳化問題中最簡單的問題之一。另一個例子是：找到可以填充空間中封閉曲線的最小面積曲面，此曲面稱為极小曲面，也可以透過變分法求得。

微分在物理學上格外重要：許多物理的現象都是用有關微分的方程式來描述，這類方程稱為微分方程。物理學格外關注物理量隨時間的變化，而时间导数是物理量隨時間的變化率，是許多重要概念精準定義的基礎。尤其在牛頓力學中，很重視一物體位置的时间导数：

• 速度是一物體位移（相對於時間）的微分。
• 加速度是一物體速度（相對於時間）的微分，也就是位移（相對於時間）的二階微分。

例如：若物體在一直線上的位置可以用下式表示

${\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}$

則其速度為

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}$

而加速度為

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}$

此時加速度已為定值。

微分方程是指一函數和其微分之間的關係。常微分方程會描述單變數函數和其微分之間的關係。而偏微分方程則是多變數函數和其偏微分之間的關係。在自然科學、數學建模，甚至是數學領域中都常常會出現微分方程。例如，牛頓第二定律描述力和加速度的關係，可以表示為以下的常微分方程

${\displaystyle F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

一維空間下的熱傳導方程式描述熱在一桿狀物上如何傳遞，其偏微分方程如下

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

此處u(x,t)為桿狀物時間t時，在位置x的溫度，而α為一常數，和熱在桿狀物上傳遞的速度成正比。

均值定理：對於每個可微分函數${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$（${\displaystyle a<b}$），存在${\displaystyle c\in (a,b)}$使得${\displaystyle f'(c)={\tfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$.

均值定理提供了函數的導數和其原始值之間的關係。若f(x)是實值函數，而a 和b是實數，且a < b，則根據均值定理（配合少許的假設），兩點(a, f(a))和(b, f(b))之間的斜率會等於在a和b中間某一點c的切線斜率。換句話說

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

實際上，均值定理是以其導數的方式來控制一個函數。例如，假設f有導數，在每一點均為0，這表示其每一點的切線都是水平線，因此其函數應該也就是水平線。均值定理證明這是對的：f圖上二點之間的斜率必須等於f中的某一條切線。而所有的切線斜率都是0，因此從函數上任二點之的直線斜率也是0。這表示函數不會上昇也不會下降，因此是水平線。若是導數的條件比較複雜，所產生的原函數資訊會比較不準確，但仍然有用。

一函數的某一點的微分是對該點附近最佳的線性近似，不過這和實際的函數可能有很大的差異。改善近似的一個方式就是進行二次近似。也就是說，實值函數f(x)在x₀點的線性化是線性多項式a + b(x − x₀)，若考慮一個二次多項式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)²，可能會有更好的近似結果。若二次多項式改為三次多項式a + b(x − x₀) + c(x − x₀)² + d(x − x₀)³，近似效果會更好一些，此概念可以擴展到任意多次的高次多項式。針對一個多項式，都應該會有一個最佳的係數a、b、c、d……的組合，讓近似的效果最好。

在x₀的邻域，對a來說，最理想的數值一定是f(x₀)，對b來說，最理想的數值一定是f'(x₀)，對For c、d及更高階的係數來說，其係數最理想的數值是由f更高階的導數決定。c最理想的數值一定是f''(x₀)/2，and d最理想的數值一定是f'''(x₀)/3!。利用這些係數，可以得到f的泰勒多項式。d次的泰勒多項式是對f可以有最佳近似的d次多項式，其係數可以用上述公式推廣而得。泰勒公式提供近似程度的精確範圍。若函數f是次數小於等於d的多項式。則此函數的d次泰勒多項式即為函數f。

泰勒多項式的極限是無窮級數，稱為泰勒级数。多半來說泰勒级数是原函數非常理想的近似。一函數若都各點等於其泰勒级数，稱為解析函数。若函數有不連續點或是斜率不連續的尖角，此函數不會是解析函数，不過相反的，存在一些函數是光滑函数（無窮階可導的函數），卻不是解析函数（非解析的光滑函數）。

有些幾何圖形（例如圆）無法用函数图形來表示。例如若f(x, y) = x² + y² − 1，其圓即為所有使f(x, y) = 0的點 (x, y)的集合。這個集合稱為f的零集。這和f本身的圖形（抛物面）不同。隐函数定理可以將f(x, y) = 0之類的關係轉換為函數。其中提到，若f是連續可微函數，f的零集中大部份都可以表示為函數圖形「粘貼」的組合。零集上的個點是否滿足上述條件，可以用一個和f微分有關的方式來確認。例如圓可以表示成二個函數圖形±${\displaystyle {\sqrt {{1}-{{x}^{2}}}}}$「粘貼」後的結果。圓上除了(−1, 0)和(1, 0)二點之外，在其餘每一個點的鄰域上，上述二個函數中都有一個的圖形和圓的圖形類似。（上述二個函數其實剛好也通過(−1, 0)和(1, 0)，不過這不是隐函数定理中提到的內容）

隐函数定理和反函数定理有密切的關係。反函数定理提到一函數在一點的開區域內具有反函數的充分條件。