距离

在解析幾何裡，xy-平面上兩點的距離可使用距離公式求得。${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$與${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$間之距離為：

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\,}$

同樣地，給定三維空間裡的兩個點${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ 與${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$，其間之距離為：

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$

這些公式可以很容易地透過建構直角三角形，並利用勾股定理來導出。在平面上，可取得平行於座標軸的兩股長求出斜邊長；在三維空間裡，可由垂直於平面的一股與將第一個直角三角形的斜邊作為另一股來求解。在研究複雜的幾何時，此類距離稱之為歐幾里得距離，因為此類距離用到的勾股定理，於非歐幾何內並不成立。此一距離公式亦可延伸用來取得弧長公式。

在歐氏空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$裡，兩點間的距離通常由歐幾里得距離（2-範數距離）所給出。不過，有時也會使用由其他範數導出之距離。

對於點${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$與點${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$，p階明可夫斯基距離（p-範數距離）定義為：

1-範數距離	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}$
2-範數距離	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}}$
p-範數距離	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
無限範數距離	${\displaystyle =\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
	${\displaystyle =\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right).}$

p 不一定要是整數，但不可以小於 1，不然三角不等式不會成立。

2-範數距離為歐幾里得距離，是勾股定理在兩維以上空間之推廣。2-範數距離為兩個點間使用直尺量測時所得之數值，為距離的「直觀」概念。

1-範數距離亦稱為「計程車範數」或曼哈頓距離，因為此一距離為汽車在以方形規劃（且假設無單行道）的城市裡駕駛之距離。

無限範數距離亦稱為切比雪夫距離。在二維空間裡，為國王在棋盤上的兩個方塊間移動所需之最少步數。

p-範數很少使用 1、2 與無限大以外的值，但可見於超橢圓內。

在物理空間裡，歐幾里得距離是最自然的形式，因為剛體的長度於此一距離下不會因旋轉而改變。

在空間內，兩個點 ${\displaystyle A={\vec {r}}(0)}$ 與 ${\displaystyle B={\vec {r}}(T)}$ 間的歐幾里得距離可寫成變分法的形式，其距離為下列積分的最小值：

${\displaystyle D=\int _{0}^{T}{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(t) \over \partial t}\right)^{2}}}\,dt}$

其中，${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$為兩點間的軌跡（路徑）。積分的值${\displaystyle D}$表示該軌跡之長度。兩點間的距離為該積分的最小值，且會在${\displaystyle r=r^{*}}$時求得，其中的${\displaystyle r=r^{*}}$為最佳軌跡。在熟悉的歐氏空間裡，該最佳軌跡為一直線。每個人都知道，兩點間的最短距離為直線。直線在形式上可透過解上式之歐拉-拉格朗日方程式求得。在非歐流形（彎曲空間）裡，該空間的性質可使用度量張量${\displaystyle g_{ab}}$來表示，而被積的函數則需修改為${\displaystyle {\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}}$。須注意，上式使用了愛因斯坦求和約定。

d(A, B) > d(A, C) + d(C, B)

物體間可以有不同的距離定義。例如，天體間的距離即有表面間距離與中心間距離兩種。近地軌道的物體適用前者，並以高度標示該物體與地球表面的距離；其他如地球與月球間之距離，則適用後者。

兩個非空集合間之距離的常見定義如下：

• 兩個非空集合間的距離為兩者內各自的點之間的距離之下確界，這是距離這一詞在日常中的含義，即

${\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).}$

此類距離是個對稱預度量。若兩個集合有部分接觸或重疊，即不是「可分」的，因為這兩個不同但接觸或重疊的集合之距離為零。此外，該距離亦不滿足三角不等式。因此，只有在某些特殊情況下，此類距離才能構成度量空間。

• 郝斯多夫距離是先取一集合內的點至另一集合各個點之距離的下確界，再取這些距離之上確界所得到的值，與兩個集合互換所得之值的最大值。亦即，令${\displaystyle X}$與${\displaystyle Y}$為度量空間${\displaystyle (M.d)}$內的子集，則赫斯多夫距離為

${\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max\{\,\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}d(x,y),\,\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}d(x,y)\,\}{\mbox{.}}\!}$

此類距離會構成度量空間的一非空緊緻子集，該子集亦會是個度量空間。

在點、直線與平面之間的距離多採上述的第一種定義。這些物件在笛卡兒座標系下的距離公式列舉如下：

若在平面坐標幾何上的直線定義為${\displaystyle ax+by+c=0}$，點的座標為${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$，則兩者間的距離為：

${\displaystyle d={\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

设两直线的方程分别为：

${\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{L_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{M_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{N_{1}}}}$

${\displaystyle {\frac {x-x_{2}}{L_{2}}}={\frac {y-y_{2}}{M_{2}}}={\frac {z-z_{2}}{N_{2}}}}$

则，该两直线间的距离

${\displaystyle d=\left|{\frac {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\L_{1}&M_{1}&N_{1}\\L_{2}&M_{2}&N_{2}\end{vmatrix}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}M_{1}&N_{1}\\M_{2}&N_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}N_{1}&L_{1}\\N_{2}&L_{2}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}L_{1}&M_{1}\\L_{2}&M_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}\right|}$

若点坐标为${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$，平面为${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$，则点到平面的距离为：

${\displaystyle d={\frac {\left|Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

若直線分別為${\displaystyle ax+by+c_{1}=0}$，和${\displaystyle ax+by+c_{2}=0}$，則兩者間的距離為：

${\displaystyle d={\frac {\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

若两平行平面分别为${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{1}=0}$和${\displaystyle Ax+By+Cz+D_{2}=0}$，则兩者间的距离为：

${\displaystyle d={\frac {\left|D_{1}-D_{2}\right|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

當需要處理的新物件為更廣義的物件（不再只是個點）時，不可擴展性、曲率限制與非局部互動等額外概念需要被加入距離的概念之內。兩個流形間的距離為一純量，可由最小化廣義距離泛函（表示兩個流形間的轉換）而導出：

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\int _{0}^{L}\int _{0}^{T}\left\{{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial t}\right)^{2}}}+\lambda \left[{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial s}\right)^{2}}}-1\right]\right\}\,ds\,dt}$

上面的二重積分是兩個聚合物結構間的廣義距離泛函。${\displaystyle s}$是空間參數，${\displaystyle t}$是偽時間（軌跡參數）。亦即，${\displaystyle {\vec {r}}(s,t=t_{i})}$ 為時間 ${\displaystyle t_{i}}$ 時的聚合物結構，且以${\displaystyle s}$作為其線段之參數。類似地，${\displaystyle {\vec {r}}(s=S,t)}$ 則為無限小之線段由結構 ${\displaystyle {\vec {r}}(s,0)}$ 轉換成結構 ${\displaystyle {\vec {r}}(s,T)}$ 的軌跡。其中的${\displaystyle \lambda }$為拉格朗日乘數，用來確保聚合物的長度在轉換的過程中維持不變。若兩個聚合物不可擴展，則兩者間之轉換最小距離不會只有直線運動，即使是在歐幾里得度量之上。此類廣義距離可適用於蛋白質折疊的問題上[1][2]。此類廣義距離可類比弦論裡的南部-後藤作用量，但無法完全地對應，因為三維空間裡的歐幾里得距離不等價於古典相對論弦中最小化的時空距離。

在圖論裡，兩個頂點間的距離為這些頂點間最短路徑之長度。