记数系统

在木头、骨头或石头上的计数符号从史前时代就开始被使用了。石器时代的文化，包括古代印第安人，使用计数符号进行赌博、私人服务和交易。

在公元前8000年至前3500年间，苏美尔人发明了使用粘土保留数字信息。他们的做法是将各种形状的小的粘土记号像珠子一样串在一起。从大约前3500年开始，粘土记号逐渐被数字符号取代。这些数字符号是使用圆的笔针刻在粘土块上，然后烧制而成的。大约前3100年，数字符号与被计数的事物分离，成为抽象的符号。在前2700年至前2000年间，圆的笔针逐渐被一种尖的笔针取代，这种笔针可以在粘土上刻出楔形符号。这种楔形数字和圆形数字相似，并保留了符号数值记数法。这些记数系统逐渐演变成了一种常见的六十进制系统。这个系统是一种位置数值记数法，只使用竖向的楔形和人形两种符号，而且能够表示分数。这个系统在古巴比伦的初期（大约前1950年）得到了充分的发展，并成为巴比伦尼亚的标准。

上述六十进制系统是一种混合进位制系统，它的一个符号序列的不同位置上使用10和6两个基数。这个系统被广泛地应用于商业，同时也在天文学和其他计算中被使用。这个系统从巴比伦尼亚输出，并传遍了美索不达米亚，包括希腊，罗马和埃及。今天，我们仍然用它来计算时间（1小时=60分钟）和角度（1度=60分）。

中国古代采用算筹记数，个位百位万位等奇数位用纵筹，偶数位用横筹，零用空位表示。有时，军队人数和供给品记数采用质数的算筹，并按照模算术运算。（参看：大衍求一术，中国剩余定理）。模算术的好处在于，尽管其加法相对困难，但乘法很容易。这使得模算术很适合军需品的计算。在现代，同样的模算术有时用于数字信号处理。

羅馬帝國使用腊、纸草、和石头上的割符，大致遵从希腊人将字母对应不同数的习惯。罗马数字在欧洲被普遍使用，直到1500年代进位制开始流行。

中美洲的玛雅数字采用20或18为基数的系统，可能继承自奥尔梅克文明，它包含了位置数值记数法和零这样的高级属性。他们将此用于高级的天文计算，包括高精度的太阳年长度和金星轨道的计算。

印加帝國采用奇普，一种打结的带颜色的绳子来记数。关于使用结和颜色来编码的知识被西班牙征服者于16世纪所摈弃，并因此失传。今天，简单的结绳工具仍在安地斯山脈地区使用。

有些权威认为数位算术随着中国的算盘的广泛使用而开始。最早的书面数位记录似乎是大约400年的算盘计算的结果。特别在大约932年，零已被中国数学家正确地表述了，并且似乎是因为采用一个圆圈表示没有算盘珠子的那一位而产生的。

在印度，现代数位数字系统被传给阿拉伯人。可能是和天文表格一起，这一系统被一位印度大使在约773年带到巴格达。对于印度的数字系统的详细讨论，参看阿拉伯数字和印度数字。[1]

从印度出发，伊斯兰苏丹们和非洲的旺盛贸易将此数字系统的概念带到了开罗。阿拉伯数学家们将此系统推广到十进制分数。在9世纪，花拉子密写下了关于该系统的重要著作。随着12世纪该著作在西班牙被翻译和斐波那契的《计算书》在1201年的出版，该系统传入欧洲。在欧洲，完整的带零的印度系统是于12世纪由阿拉伯人带来的。

二进制系统由莱布尼兹在17世纪传播，莱布尼兹在他工作的早期形成了这一概念，并在阅读中国的《易经》再次巩固了这一想法。由于计算机的使用，二进制系统在20世纪变得更加普遍。

在“基数${\displaystyle b}$”的“位置记数系统”（其中${\displaystyle b}$是一个正自然数，叫做基數）中，${\displaystyle b}$个“基本符号”（或称数字）对应于包括0的 最小${\displaystyle b}$个自然数。 要产生其他的数，必须变动这些基本符号在数中的位置。最后一位的符号用它本身的值，向左一位其值乘以${\displaystyle b}$。

例如，在十进制系统中（基数10），数 4327 表示 (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰)，注意 ${\displaystyle 10^{0}}$ = 1。

一般来讲，若${\displaystyle b}$是基底，我们在${\displaystyle b}$进制系统中的数表示为${\displaystyle a}$₁${\displaystyle b}$^k + ${\displaystyle a}$₂${\displaystyle b}$^k-1 + ${\displaystyle a}$₃${\displaystyle b}$^k-2 + ... + ${\displaystyle a}$_k+1${\displaystyle b}$⁰的形式，并按次序写下数字${\displaystyle a}$₁${\displaystyle a}$₂${\displaystyle a}$₃ ... ${\displaystyle a}$_k+1。这些数字是 0 到 ${\displaystyle b}$-1 的自然数。

若一段文字（譬如这段文字）讨论多个基数，若有歧义时，基数（本身用十进制表示）用下标方式写在数的右边。除非有上下文说明，没有下标的数字视为十进制。

通过使用一点（小数点）来将数字分成两组，就可以用位置系统来表示小数。例如，基数-2系统 10.11 表示1×2¹+ 0×2⁰ +1×2^-1 +1×2^-2 = 2.75。

一般来讲，${\displaystyle b}$进制系统中的数有如下形式：

${\displaystyle (a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}...)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}}$

数 ${\displaystyle b^{k}}$ 和 ${\displaystyle b^{-k}}$ 是相应数字的 比重。

注意有一个数有一个终止或者循环当且仅当它是有理数；这不依赖于基数的选择。在一个进制中终止的数可以在另外一个有循环小数（thus 0.3₁₀ = 0.0100110011001...₂）。一个无理数在所有进制中不循环（无穷位不循环数字）。这样，例如二进制中，π = 3.1415926...₁₀ 可以写作不循环的 11.001001000011111...₂。

若${\displaystyle b}$=${\displaystyle p}$是一个质数，可以定义其向左的扩展不停止的${\displaystyle p}$进制数字；这些数字称为p进数(p-adic)。

转换正整数的进制的有一个简单算法，就是通过用目标基数作长除法；余数给出从最低位开始的“数字”。例如，1020304从10进制转到7进制：

1020304 / 7 = 145757 r 5 ↑  => 11446435
 145757 / 7 =  20822 r 3 │
  20822 / 7 =   2974 r 4 │
   2974 / 7 =    424 r 6 │
    424 / 7 =     60 r 4 │
     60 / 7 =      8 r 4 │
      8 / 7 =      1 r 1 │
      1 / 7 =      0 r 1 │

再如，10110111 从2进制到5进制：

10110111 / 101 = 100100 r 11  (3) ↑  => 1213
  100100 / 101 =    111 r  1  (1) │
     111 / 101 =      1 r 10  (2) │
       1 / 101 =      0 r  1  (1) │

转换一个“十进制”小数，可以用重复乘法，将整数部分作为“数字”。不幸的是有限小数不一定转换成为有限小数，例如0.1A4C从16进制转换到9进制：

0.1A4C × 9 = 0.ECAC │
0.ECAC × 9 = 8.520C │
0.520C × 9 = 2.E26C │
0.E26C × 9 = 7.F5CC │
0.F5CC × 9 = 8.A42C │
0.A42C × 9 = 5.C58C ↓  => 0.082785...a

更一般化的有一种记法（这里写作小头式），例如${\displaystyle a}$₀${\displaystyle a}$₁${\displaystyle a}$₂ 用作${\displaystyle a}$₀ + ${\displaystyle a}$₁${\displaystyle b}$₁ + ${\displaystyle a}$₂${\displaystyle b}$₁${\displaystyle b}$₂, etc.

• 进制转换器（页面存档备份，存于）
• 带小数点的进制转换器
• 数字感觉与数数课程（页面存档备份，存于）