重现期

通常认为超定量的自然灾害服从泊松分布[4]。其概率密度函数如下：

${\displaystyle P_{t}(X=r)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}}$，

其中${\displaystyle r}$是事件发生的次数，${\displaystyle t}$是给定的时间段，${\displaystyle T}$是重现期，${\displaystyle \mu =1/T}$ 是事件发生概率。

在给定时间段${\displaystyle t}$内，事件一次都不发生的概率可将${\displaystyle r=0}$代入上式得出

${\displaystyle P_{t}(X=0)=e^{-t/T}}$，

从而事件发生一次的概率为

${\displaystyle P_{t}(X\geq 1)=1-P_{t}(X=0)=1-e^{-t/T}}$。

值得注意的是，将${\displaystyle t=T}$代入上式可得，对于重现期为T年的事件，在T年内发生至少一次的概率为

${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$。

而泊松分布的期望是

${\displaystyle E[P_{t}(r)]=t/T}$，

代入${\displaystyle t=T}$即可得对于重现期为T年的事件，在T年内发生次数的期望为1。

也可以使用二项分布进行估计[5]，其概率密度函数如下：

${\displaystyle P(X=r)={t \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{t-r}={t \choose r}(1/T)^{r}(1-1/T)^{t-r}}$，

其中${\displaystyle r}$是事件发生的次数，${\displaystyle t}$是给定的时间段，${\displaystyle T}$是重现期，${\displaystyle \mu =1/T}$ 是事件发生概率。但须注意到，当${\displaystyle T}$较大时，${\displaystyle \mu }$较小，事件概率较低。若此时给定的年数${\displaystyle t}$也很大时，二项分布实际近似一个参数为${\displaystyle t/T}$的泊松分布。因此用上式计算出的「百年」事件在100年内至少发生一次的概率会和用泊松分布算出的结果十分接近。

直接计算也可得${\displaystyle t}$时间内事件发生一次的概率为

${\displaystyle P_{t}(X\geq 1)=1-P_{t}(X=0)=1-(1-1/T)^{t}}$，

在T和t都较大时，上式可近似为泊松分布的结果${\displaystyle 1-e^{-t/T}}$。

同样，二项分布的期望为${\displaystyle t/T}$，表明重现期为T年的事件在T年内发生次数的期望为1。

1501-2013年德国帕绍段多瑙河洪水记录，洪峰高度超过对应虚线的为50年或100年洪水