金兹堡-朗道方程

金兹堡－朗道方程是由金兹堡和朗道在朗道的二级相变理论的基础上提出的[4]。他们断言超导态可以通过一个复序参量（complex order parameter）ψ(r) 来表征。这个形似波函数的序参量测量的是超导体在低于超导转变温度T_c时的超导有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理论的框架中可以视为描述库柏对质量中心位置的单粒子波函数[5]。在临界相变点附近，超导体的自由能密度 ${\displaystyle f}$ 可被展开为如下形式：

${\displaystyle f=f_{n0}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {H^{2}}{8\pi }}}$[6]

若 ${\displaystyle \psi =0}$，则上式化为常态下的自由能 ${\displaystyle f_{n0}+{\frac {h^{2}}{8\pi }}}$。${\displaystyle m^{*}}$表示有效质量，${\displaystyle e^{*}}$表示有效电荷，A 是磁矢势，${\displaystyle H}$为磁场强度。在后续的实验中，人们发现 ${\displaystyle e^{*}\approx 2{\mathit {e}}}$（${\displaystyle {\mathit {e}}}$ 为基本电荷）。

当自由能取极小值时可得金兹堡-朗道方程：

由 ${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {c}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} }$，可推导出电流密度

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\left|\psi \right|^{2}\left(\hbar \nabla \varphi -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)}$[6]

如果不考虑金兹堡－朗道方程中的磁场与梯度项，方程可化为：

${\displaystyle f_{s}-f_{n}=\alpha |\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta |\psi |^{4}}$[6]

由于 ${\displaystyle \beta >0}$ ，当 ${\displaystyle \alpha >0}$ 时，自由能的最小值出现在 ${\displaystyle |\psi |^{2}=0}$，对应着非超导的普通状态。当 ${\displaystyle \alpha <0}$ 时，自由能的最小值出现在 ${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}=|\psi _{\infty }|^{2}}$；之所以被记为 ${\displaystyle |\psi _{\infty }|^{2}}$，是因为 ${\displaystyle \psi }$ 是在超导体内部“无穷深”处取得的这一函数值，“无穷深”意味着完全屏蔽了外表面的电磁场或电流。[6]

若已知 ${\displaystyle e^{*}=2{\mathit {e}}}$，且 ${\displaystyle m^{*}=2m}$，则可以计算出金兹堡－朗道方程中各个系数的表达式。使用经验方程进行估计可知：

${\displaystyle |\psi |^{2}\propto 1-t^{4}\approx 4(1-t)}$

${\displaystyle \alpha \propto {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\approx (1-t)}$

${\displaystyle \beta \propto {\frac {1}{(1+t^{2})^{2}}}\approx const}$

其中 ${\displaystyle t=T/T_{c}}$。[6]

金兹堡-朗道方程预测了超导体中两个新的特征长度。

第一个叫做超导相干长度ξ。对于T > T_c (一般相)，相干长度由以下方程给出：

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.}$

对于 T < T_c (超导相)，相干长度由以下方程给出：

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m|\alpha |}}}.}$

第二个叫做穿透深度λ。这个概念最初是由伦敦兄弟在他们的伦敦理论中提出的。如果使用金兹堡-朗道模型中的参数来表示，穿透深度可以写作：

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}},}$

其中ψ₀ 表示在没有电磁场的条件下序参量的平衡值。外加磁场在超导体中的指数衰减可以通过穿透深度来定义。通过计算超导电子密度恢复到其平衡值ψ₀ 时产生的微小扰动，我们可以确定这个指数衰减。磁场的指数衰减与高能物理中的希格斯机制是等价的。

朗道还定义了一个参数κ。κ = ${\displaystyle \lambda }$/${\displaystyle \xi }$ 现今被称为金兹堡-朗道参数。朗道提出，第一类超导体应满足 0<κ<1/${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，而第二类超导体应满足κ>1/${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。如此一来，金兹堡-朗道理论通过定义这两个长度，就表征了所有的超导体。

金兹堡-朗道方程可化为以下形式的非线性偏微分方程：

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-bu+c|u|^{2}u=0}$[7]

其中${\displaystyle u(x,t)}$是一个复值函数，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c为复常数，b∈ℝ。若假设a、b、c都是正实数，则金兹堡-朗道方程有下列行波解：

${\displaystyle sol[1]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c}$

${\displaystyle sol[2]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*coth(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c}$

${\displaystyle sol[3]:=u=-(1/2*I)*b/{\sqrt {(}}-c*b)-(1/2)*{\sqrt {(}}-c*b)*tan(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c}$

${\displaystyle sol[4]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c}$

${\displaystyle sol[5]:={\frac {-{\sqrt {(}}3)*exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t))}}}$

部分解析解的行为如下所示：

• 朗道理论
• 磁畴
• 畴壁
• 磁通钉扎
• 磁通量量子
• 量子涡旋
• 格罗斯–皮塔耶夫斯基方程
• 反应-扩散系统
• 塞伯格-维腾理论
• 拓扑缺陷