開映射和閉映射

• 定義連續函數f: R → R為f(x)=x²，則f是閉映射，但不是開映射。

• 任何同胚都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚，若且唯若映射是開映射，或等價地，若且唯若映射是閉映射。

• X上的恆等映射是一個同胚，故為既開且閉的。但如果X是Y的子空間，則僅當X在Y中為開集（閉集）時，從X到Y的包含映射${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$是開映射（閉映射）。故此映射的到達域需要指明，以辨別映射是否為開或閉映射。

• 定義從[0,2π)到單位圓（視為R²中的圓，原點為圓心）的函數：在[0,2π)中的θ所對應的值，是單位圓上與x軸成角度θ的點。這個函數是雙射連續的，所以其從單位圓到[0,2π)的逆函數是既開且閉的。這個逆函數將緊緻的單位圓，映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見開映射和閉映射不保持緊緻性，這點與連續映射不同。

• 若Y有離散拓撲，則任何到Y中的映射都是既開且閉，但這映射未必連續。例如從實數集R到整數整Z的取整函數是既開且閉，但不是連續。

• 對於任何拓撲空間的積X = Π X_i，由積拓撲的定義，其投射p_i: X → X_i是開且連續的。不過這投射不一定是閉的：例如令p₁: R² → R是從R²到x軸上的投射，並設A是函數f(x)=1/x的圖像，即由全部形如(x,1/x)的點構成的集合。那麼A是R²中的閉集，但p₁(A)不是x軸中的閉集。不過若Y為緊緻集，則投射X × Y → X是閉映射。

一個映射f: X → Y是開映射若且唯若對X中每一點x及其任何（任意小的）鄰域U，都存在f(x)的鄰域V使得V ⊂ f(U)。因此若f將X的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集，則f是開映射。

開映射和閉映射的定義，可用內部算子和閉包算子表達如下：設f: X → Y是映射。

• f是開映射，若且唯若對任何A ⊆ X，有f(A^°) ⊆ f(A)^°。
• f是閉映射，若且唯若對任何A ⊆ X，有f(A⁻) ⊆ f(A)⁻。

兩個開映射的複合是開映射；兩個閉映射的複合是閉映射，

兩個開映射的積是開映射，但兩個閉映射的積未必是閉映射。（例如取前述的投射p₁: R² → R，視之為兩個映射f和g的積，其中f是x軸上的恆等函數，g是從y軸到只包含點0的集合{0}的函數。f和g為閉映射，但p₁不是。）

一個雙射是開的若且唯若其為閉的。一個連續的雙射，其逆映射是雙射的既開且閉映射，反之亦然。

一個滿射的開映射不一定是閉映射，同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射，

設f是連續映射，且是開的或閉的，那麼

• 若f是滿射，則f是商映射。
• 若f是單射，則f是拓撲嵌入。
• 若f是雙射，則f是同胚。

f為開或閉映射的條件，對前兩項只是充分條件，對第三項也是必要條件。

有些條件能協助辨別映射是否開或閉。以下列出一些這一類的定理。

閉映射引理指，從緊緻集X到豪斯多夫空間Y的連續映射f: X → Y都是閉且逆緊（緊緻集的原像都為緊緻）。這結果的一個變化指，局部緊緻豪斯多夫空間之間的一個連續映射若為逆緊，則這映射是閉映射。

泛函分析中的開映射定理指，巴拿赫空間之間的連續線性算子若是滿射，則為開映射。

複分析中的開映射定理指，在複平面的連通開子集上定義的非常數全純函數是開映射。

區域不變性定理指，兩個n維拓撲流形間的局部單射且連續的映射都是開映射。

• Munkres, James R. 2nd. Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.