闭值域定理

闭值域定理是数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理，给出了闭合稠定线性算子（closedDensely defined operator）的值域为闭集的充要条件。这一定理由斯特凡·巴拿赫于1932年在《线性算子理论》（Théorie des opérations linéaires）一文中给出了证明。

设X与Y为巴拿赫空间，若T : D(X) → Y是一个闭合的线性算子，它的定义域D(X)在X中稠密，而${\displaystyle \scriptstyle {T'}}$是它的转置算子。则定理指出，如下四个结论等价：

• ${\displaystyle \scriptstyle {T}}$的值域（像）${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {Im} (T)}}$是${\displaystyle \scriptstyle {Y}}$中的闭集。
• ${\displaystyle \scriptstyle {T'}}$的值域${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {Im} (T')}}$是${\displaystyle \scriptstyle {X}}$的对偶空间${\displaystyle \scriptstyle {X'}}$中的闭集。
• ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\operatorname {Ker} (T')^{\perp }=\{y\in Y|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad x^{*}\in \operatorname {Ker} (T')\}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Im} (T')=\operatorname {Ker} (T)^{\perp }=\{x^{*}\in X'|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad y\in \operatorname {Ker} (T)\}.}$

此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个稠定线性算子T使得Im(T) = Y。相似地，当且仅当T存在连续的逆算子时，${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {Im} (T')=X'}}$。