发散级数

柯西对级数a₀ + a₁ + ...的和的经典定义为部分和序列a₀ + ... + a_n的极限。通过两个实数之间加法运算的定义，再依据数学归纳法，不难自然地定义出有限个实数间的加法。但是有限个实数间的加法有定义并不意味着能直接地导出级数的和的定义，因为此时并没有定义无限项相加的概念，只有借助极限进行额外定义才能明确级数的和的概念。

给定收敛到s的收敛级数a，倘若任意置换级数a的项得到级数a′后，a′收敛也总是收敛到s，则称级数a是绝对收敛的。在这个定义之下可以证明，一个级数收敛当且仅当取它每一项绝对值后得到的新级数在经典意义下收敛。有些地方会将后者作为绝对收敛的定义，但由于不涉及绝对值的概念，所以前者的定义更有一般性。

最特别的Nørlund可和法是切萨罗可和法。

考虑级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$，记${\displaystyle s_{n}=a_{1}+\cdots +a_{n}}$为它的部分和，再记${\displaystyle t_{n}={\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}}$。如果${\displaystyle t_{n}\rightarrow s}$，则称这个级数的切萨罗和为${\displaystyle s}$。这显然是一个Nørlund可和法。

作为推广，取p^k为

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}.}$

定义N_(p^k)(s)为切萨罗和C_k(s)，k不必总为整数。当k ≥ 0时，切萨罗和也是Nørlund和，从而是全正则、线性、稳定并且两两相容的。其中C₀是常规的和，C₁是经典的切萨罗和。进一步的，若h > k，则C_h强于C_k。

如果取λ_n = n，便得到了阿贝尔可和法。并且

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

其中z = exp(−x)。因此当x右趋于0时，f(x)的极限恰为z左趋于1时，幂级数f(z)的极限。所以阿贝尔和A(s)也可以定义为

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

阿贝尔可和法某种意义上非常有趣，因为它和每个切萨罗可和法相容且更有力，即总有A(s) = C_k(s)，只要后者有定义。阿贝尔和是正则、线性、稳定的，并且与切萨罗可和法相容。

如果取λ_n = n log(n)，便得到了林德勒夫可和法（指标从1算起），有

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

于是L(s)或者说林德勒夫和 （Volkov 2001），是x右趋于0时f(x)的极限。林德勒夫和是非常有力的可和法，倘若应用在有正收敛半径的幂级数上，那么在这个幂级数的米塔-列夫勒星形域上处处都是可和的。

准确的说，如果g(z)是在原点解析的解析函数，从而有相应正收敛半径的麦克劳林级数，并且在其米塔-列夫勒星形域上总有L(G(z)) = g(z)。进一步的，L(G(z))在这个星形域的每个紧集上一致收敛到g(z)。

如果Σa_nxⁿ对小的复x收敛，并且能沿着某条路径从x = 0延拓到x = 1，则可以把级数的和定义为延拓后的函数在x = 1处的值。这个值可能会依赖于路径的选取。

欧拉可和法本质上是解析延拓的精确形式。如果一个幂级数对小的复z收敛，并且能从半径为−1/q + 1的圆解析地延拓到半径为1的圆上，而且在z=1处连续，则此处的值被称为级数a₀ + ....的欧拉和或是(E,q)和。欧拉在解析延拓被定义前普遍地应用这个概念，并且给出了幂级数解析延拓的精确形式。

欧拉变换的操作能被重复上好几次，它本质上等价于考虑幂级数在z = 1处的解析延拓。

考虑狄利克雷级数

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

解析延拓到s = 0处的值，如果存在便是唯一的，将其定义为相应级数的和便给出了一个可和法。这个可和法有时会被混同于zeta函数的正则化。

如果级数

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

(对于正的a_n)对大的实s收敛，并且能沿着实线解析地延拓到s = −1，则它在s = −1处的值被称为级数a₁ + a₂ + ...的zeta正则和，这种广义和是非线性的。在应用中，a_i有时会是有紧分解的自伴算子A的特征值，从而f(s)是A^−s的迹。例如，若A有特征值 1, 2, 3, ... 则f(s)是黎曼zeta函数， ζ(s)在s = −1处的值是−1/12，这为发散级数1 + 2 + 3 + 4 + …指派了相应的和。其它的s处的值，也能以此被理解为定义了相应的广义和，像是ζ(0) = 1 + 1 + 1 + ... = −1/2、ζ(−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0。一般而言，

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

其中B_k是伯努利数.[4]

J(x) = e^x这个特殊情形给出了(弱)波莱尔可和法。

Valiron可和法是波莱尔可和法在一类更一般的整函数J上的推广。Valiron展示了在一定条件下，它等价于将级数的和定义为

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

其中H是G的二阶导数，并且c(n) = e^−G(n)。

例如若对正的x，dμ = e^−x dx，而对负的x为0，则μ_n = n!。这个给出了一种形式的波莱尔可和法，其中级数的和为

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

可以对此推广出依赖于参量α的可和法，称为(B′,α)和，其中级数a₀ + ... 的和被定义为

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt,}$

只要这个积分存在。更进一步的推广将被积函数替换为从小的 t起的解析开拓。

Hardy (1949，chapter 11).

Hutton于1812年，引入了一种发散级数的可和法，它从部分和序列出发，反复执行将序列 s₀, s₁, ...替换为平均序列s₀ + s₁/2, s₁ + s₂/2, ...的操作，再取其极限。

（Hardy 1949，p. 21）

称级数a₁ + ... 英厄姆可和到s，指的是

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

英厄姆证明了如果取定δ为某个正数，则(C,−δ) (切萨罗)可和性可以推出英厄姆可和性，并且英厄姆可和性还能推出(C,δ)可和性。

Hardy (1949，Appendix II)

称级数a₁ + ... 朗伯可和到s，指的是

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

如果级数对某个k是(C,k) (切萨罗)可和的，则它也朗伯可和到相同的值。若级数是朗伯可和的，则它也阿贝尔可和到相同的值。

Hardy (1949，Appendix II)

称级数a₀ + ... Le Roy可和到s，指的是

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

Hardy (1949，4.11)

称级数a₀ + ... 米塔-列夫勒(M)可和到s，指的是

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

Hardy (1949，4.11)

拉马努金可和法是拉马努金基于欧拉-麦克劳林求和公式给出的发散级数可和法。级数f(0) + f(1) + ...的拉马努金和不仅依赖于f在整数上的取值，也依赖于f在其它非整数上的取值，所以它并不是在通常意义下的可和法。

如果指数母函数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-nz}}$的收敛区域非空，且它可以解析延拓为复平面上的亚纯函数，它的洛朗级数的零次系数就等于级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$的拉馬努金和[5]。

例如，有以下级数的拉馬努金和：

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}(\Re ).}$

${\displaystyle 1+1+1+1+\cdots =-{\frac {1}{2}}(\Re ).}$

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}(\Re ).}$

称级数a₁ + ... (R,k)(或黎曼)可和到s，指的是

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

Hardy (1949，4.17) 称级数a₁ + ... R₂可和到s，指的是

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

若λ_n组成递增的实数列，并且

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

则将级数a₀ + ...的里斯和(R,λ,κ)定义为

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

称级数a₁ + ... VP(或Vallée-Poussin)可和到s，指的是

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots =s.}$

Hardy (1949，4.17).