電磁場的動力學理論

在這篇論文的標題為電磁場一般方程式的第三章裏，馬克士威列出了涉及二十個未知量的二十個方程式，在那時期，稱為馬克士威方程組。由於向量微積分尚在發展中，這二十個方程式都是以分量形式表示，其中，有十八個方程式可以用六個向量方程式集中表示（對應於每一個直角坐標，有一個方程式），另外剩下的兩個是純量方程式。所以，以向量標記，馬克士威方程組可以表示為八個方程式。1884年，從這八個方程式，奧利弗·黑維塞重新編排出四個方程式，並且稱這一組方程式為馬克士威方程組。今天廣泛使用的馬克士威方程組就是黑維塞編成的這一組方程式。

黑維塞版本的馬克士威方程組是以現代向量標記法寫出。在原先版本的八個方程式裏，只有一個方程式，高斯定律的方程式(G)，完整不變地出現於黑維塞版本。另外一個在黑維塞版本的方程式，乃是由總電流定律的方程式(A)與安培環路定理的方程式(C)共同湊合而成。這方程式包含了馬克士威的位移電流，是安培環路定理的延伸。

以向量標記，馬克士威方程組的原先版本的八個方程式，分別寫為

(A) 總電流定律

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}=\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$ 、

(B) 磁場方程式

${\displaystyle \mu \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$ 、

(C) 安培環路定理

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{tot}}$ 、

(D) 勞侖茲力方程式

${\displaystyle \mathbf {E} =\mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \phi }$ 、

(E) 電彈性方程式

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon }}\mathbf {D} }$ 、

(F) 歐姆定律

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{\sigma }}\mathbf {J} }$ 、

(G) 高斯定律

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$ 、

(H) 連續方程式

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ 。

標記符號：

${\displaystyle \mathbf {H} }$ 是磁場強度，

${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是傳導電流密度，

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}}$ 是總電流密度（包括位移電流密度），

${\displaystyle \mathbf {D} }$ 是電位移，

${\displaystyle \rho }$ 是自由電荷密度，

${\displaystyle \mathbf {A} }$ 是磁向量勢，

${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是電場，

${\displaystyle \phi }$ 是電勢，

${\displaystyle \mu }$ 是磁導率，

${\displaystyle \epsilon }$ 是電容率，

${\displaystyle \sigma }$ 是電導率 。

關於介質的性質，馬克士威並沒有試着處理比較複雜的狀況。他表述的主要是線性、均向性、非色散性物質；他也稍微談到一些有關異向性的晶體物質的問題。

值得注意的是，馬克士威將 ${\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} }$ 項目包括於他的合勢方程式(D)。這項目表達一個以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 移動的導體所感受到的單位電荷的磁場力而產生的動生電動勢。這意味著合勢方程式(D)表達了勞侖茲力。這方程式最先出現為論文《論物理力線》的方程式(77)，比勞侖茲想到這問題早了很多年。現在，勞侖茲力方程式列為馬克士威方程組之外的額外方程式，並沒有被包括在馬克士威方程組裏面。

馬克士威，電磁學之父

在論文《電磁場的動力學理論》裏，馬克士威應用了的1861年論文《論物理力線》第三節裏對於安培環路定理的修正，將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他於是說[4]：

這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。
— 詹姆斯·馬克士威

馬克士威在對於光波是一種電磁現象的推導裏，並沒有使用法拉第電磁感應定律，而是使用方程式(D)來解釋電磁感應作用。由於不考慮導體的運動，項目 ${\displaystyle \mu \mathbf {v} \times \mathbf {H} }$ 可以被刪除。事實上，他的八個方程式裏，並沒有包括法拉第電磁感應定律方程式在內。

由於馬克士威的推導比較冗長，現代的教科書已不再採用這推導，改而選擇另一種比較簡易了解的推導，這推導主要是使用馬克士威-安培定律（安培環路定理的延伸）與法拉第電磁感應定律。

假設電磁波是一個平面波，以波速 ${\displaystyle V}$ 向正z-軸的方向傳播於某介質，則描述此電磁波的每一個函數都擁有參數 ${\displaystyle w=z-Vt}$ 。根據磁向量定義式(B)，

${\displaystyle \mathbf {B} =-{\hat {x}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}}$ ；

其中，${\displaystyle B\ {\stackrel {def}{=}}\ \mu \mathbf {H} }$ 是磁感應強度的定義式。

注意到 ${\displaystyle B_{z}=0}$ ， 還有，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 垂直於平面波的傳播方向，這電磁波是個橫波。

根據安培環路定理(C)，

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}=-{\hat {x}}{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}+{\hat {y}}{\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}=-{\frac {1}{\mu }}\left({\hat {x}}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}+{\hat {y}}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)}$ ；

假設介質是個絕緣體，傳導電流密度 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 等於零，則根據總電流定律(A)和電彈性方程式(E)，

${\displaystyle \mathbf {J} _{tot}={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\epsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ ；

假設導體的速度等於零，即動生電動勢項目等於零，則根據合勢方程式(D)，

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial t^{2}}}=0}$ 。

再應用磁向量定義式(B)，就可以得到磁場的波動方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial t^{2}}}=0}$ 。

鏈式法則要求

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial w}{\partial t}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}=-V{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}}$ 。

所以，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{x}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}-\mu \epsilon V^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{y}}{\mathrm {d} w^{2}}}=0}$ 。

傳播的速度為

${\displaystyle V=1/{\sqrt {\mu \epsilon }}}$ 。

設定磁導率為磁常數 ${\displaystyle \mu _{0}}$ ，電容率為電常數 ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ，則傳播速度是電磁波傳播於自由空間的速度。

類似地，應用合勢方程式(D)，可以得到電場的波動方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}=0}$ 、

${\displaystyle E_{z}=-{\frac {\partial A_{z}}{\partial t}}-{\frac {\partial \phi }{\partial z}}}$ 。

注意到，${\displaystyle E_{z}}$ 可能不等於零。在尚未更清楚了解電荷密度的性質之前，馬克士威不排除電場波為縱波的可能性。

在自由空間裏，黑維塞版的馬克士威方程組的四個微分方程式為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$ 、(1)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ 、(2)

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ 、(3)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ ；(4)

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常數，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ 是電常數。

分別取公式 (2) 、(4) 的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}}$ 、

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}}$ 。

應用一則向量恆等式

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {Z} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Z} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {Z} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {Z} }$ 是任意向量函數。

將公式 (1) 、(3) 代入，即可得到波動方程式：

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0}$ 、(5)

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0}$ ；(6)

其中，${\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}}$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

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