向量分析

标量场将空间中的每点与标量值相关联。标量是代表物理量的数字。标量场的应用如空间中的温度分布、流体中的压强分布、零旋量子场（称为标量玻色子）如希格斯场。这些场是标量场论的研究对象。

向量场将向量分配给空间中的每一点。[1]例如，平面中的向量场可形象地理解为一组箭头的集合，每个都有给定的大小与方向，并与平面上的点相关联。向量场常用于模拟运动流体在整个空间中的速度和方向，或某种力（如磁力或引力）在点之间变化时的强度和方向。例如，这可用于计算在一条线上所做的功。

在更高级的处理中，进一步区分了伪向量场和赝标量场，它们只在反向映射下符号会变化：例如，向量场的旋度是伪向量场，若反射一个向量场，旋度会指向相反的方向。这种区别在几何代数中有阐述，下详。

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，基本代数运算有：

向量分析基本代数运算

运算	记作	描述
向量加法	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$	两个向量相加，产生向量。
标量乘法	${\displaystyle a\mathbf {v} }$	标量和向量相乘，产生向量。
內積 / 点积	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$	两个向量相乘，产生标量。
外積 / 叉积	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中两向量相乘，产生（伪）向量。

两种三重积也比较常见：

向量分析中的三重积

运算	记作	描述
标量三重积	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	向量与两向量叉积的点积。
向量三重积	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	向量与两向量叉积的叉积。

三重積不常作为基本运算，不過仍可以用內積及外積表示。

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

算子	表示	敘述	界域
梯度	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	純量場 ${\displaystyle f}$ 於場中某點增加率最大的速率與方向	純量場的梯度是向量場
散度	${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {F}})=\nabla \cdot {\vec {F}}}$	向量場 ${\displaystyle {\vec {F}}}$ 於場中某點附近發散或匯聚的程度	向量場的散度是純量場
旋度	${\displaystyle \operatorname {curl} ({\vec {F}})=\nabla \times {\vec {F}}}$	向量場 ${\displaystyle {\vec {F}}}$ 於場中某點附近旋轉的程度	向量場的旋度是向量場
向量拉普拉斯算子	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度	向量場的向量拉普拉斯是向量場
拉普拉斯算子	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	對純量場 ${\displaystyle f}$ 作梯度運算後，再作散度運算	純量場的拉普拉斯是純量場

线性近似用几乎相同的线性函数代替复杂函数。给定实值可微函数${\displaystyle f(x,\ y)}$，对接近${\displaystyle (a,\ b)}$的${\displaystyle (x,\ y)}$，可以用下式近似${\displaystyle f(x,\ y)}$

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

右式是${\displaystyle z=f(x,\ y)}$图形在${\displaystyle (a,\ b)}$处切线的平面方程。

对连续可微多变量函数，若其所有偏导数在P点都为零（梯度为零），则P点是一个临界点。临界值是函数在临界点上的值。

若函数光滑，或至少2次连续可微，则临界点可能是局部极值或鞍点。考虑二阶导的黑塞矩阵的特征值，可以区分不同情形。

由费马引理，可微函数的局部极值都出现在临界点上。因此，要找到局部极值，只需计算梯度的零点及当处的黑塞矩阵特征值。

向量分析尤其适于研究

• 质心
• 场论
• 运动学
• 麦克斯韦方程组

向量分析起初是在欧氏空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中，不仅是3维实向量空间，还具有额外结构，即：由内积定义范数（给出长度概念），又引出角度与方向，方向又分左右手。这些结构产生了体积形式，以及在向量分析中常用的叉积。

梯度与散度只需要内积，旋度和叉积还需要考虑坐标轴的手性。

若其他3维实向量空间有内积（或更一般的对称非退化形式）核方向，向量分析就可在这些空间上定义；这比欧氏空间的同构数据要少，因为不需要坐标轴集（参照系），这反映了向量分析在旋转（特殊正交群SO(3)）下不变的事实。

更一般地说，向量分析可定义在任意3维有向黎曼流形，或更一般的伪黎曼流形上。这种结构就是每点的切空间都有内积与方向，更一般地说是有对称非退化度量张量与方向。向量分析根据每点的切向量定义，所以有效。

大多数分析结果都可以通过微分几何机制轻松理解，向量分析是其子集。梯度、散度、梯度定理、散度定理、拉普拉斯算子（产生调和分析）可轻易推广到其他维度，而旋度和叉积则不能直接推广。

从一般观点来看，（3维）向量分析中的各种场被统一视作k向量场：标量场是0-向量场，向量场是1-向量场，伪向量场是2-向量场，伪标量场是3-向量场。在更高维度中，还有更多类似的场（标量/向量/伪向量/伪标量对应0/1/n-1/n维，这在3维中详尽无遗），因此不能只用（伪）标量和（伪）向量。

在任意维度中，假定一个非退化形式，标量函数的梯度是向量场，而向量场的散度是标量函数，但只有3维、7维[2]（1维、0维是平凡的）中，才能定义叉积（其他维度的推广或要n-1个向量才能得到一个向量，或要用李代数代替，即更一般的反对称双线性积）。总之，向量场的旋度是二重向量场，可解释为无穷小旋转的特殊正交李代数；但这不能视作向量场，因为维数不同——3维旋转有3维，但4维旋转有6维（n维中的旋转有${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$维）。

向量分析有两个重要的替代性推广。第一个是几何代数，用k向量场（3维及以下时，k向量场都可用标量函数或向量场识别，但更高维并非如此）。外积取代了叉积，可在所有维度中，由两个向量场输出一个二重向量场。这产生了作为向量空间上代数结构的克利福德代数（具有有向非退化形式）。几何代数主要用于物理学等应用领域向更高维的推广。

第二个运用微分形式（k余向量场），在数学中有广泛应用，尤常见于微分几何、几何拓扑、调和分析等领域，在有向伪黎曼流形上产生了霍奇理论。从这个角度看，梯度、旋度、散度分别对应0形式、1形式、2形式的外导数，而向量分析的关键定理都是斯托克斯定理一般形式的特例。

从这两种推广来看，向量分析隐式地标识了不同的数学对象，使表述更简单，但底层的数学结构与推广却不那么清晰。从几何代数的角度来看，向量分析隐式地将k向量场与向量场与标量函数区分开来：0向量与3向量同标量有关，1向量和2向量同向量有关。从微分形式的角度来看，向量分析隐式地将k形式同标量场与向量场相联系：0形式、3形式与标量场有关，1形式、2形式与向量场有关。因此，举例来说，旋度自然地将向量场或1形式作为输入，将2向量场或2形式作为输出（因此是伪向量场），然后将其解释为向量场，而非直接从向量场映射到向量场，这在高维空间反映为旋度的输出不是向量场。