非完整系統

完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數${\displaystyle x_{d}}$是完整約束函數${\displaystyle f_{k}}$裏的一個參數，現在指定除去${\displaystyle x_{d}}$。重新編排上述約束方程式，求出表示${\displaystyle x_{d}}$的函數${\displaystyle g_{k}}$：

${\displaystyle x_{d}=g_{k}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)}$。

將函數${\displaystyle g_{k}}$代入所有提到${\displaystyle x_{d}}$的方程式。這樣，可以除去所有指定變數${\displaystyle x_{d}}$。

假設一個物理系統原本的自由度是${\displaystyle N}$。現在，將${\displaystyle h}$個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為${\displaystyle m=N-h}$。可以用${\displaystyle m}$個獨立廣義座標${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})}$來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下：

${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N}$。

換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。

約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第${\displaystyle i}$個約束的微分形式的約束方程式：

${\displaystyle \sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}$；

這裏，${\displaystyle c_{ij}}$，${\displaystyle c_{i}}$分別為微分${\displaystyle dq_{j}}$與${\displaystyle dt}$的係數。

假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數${\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0}$的全微分滿足下述等式：

${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0}$；

那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。

表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示：

${\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n}$；

則稱此系統為半完整系統[1]；這裏，${\displaystyle {\dot {q}}_{j}}$是廣義速度。

半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}=0}$；

這裏，${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)}$是未知函數。

假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立：

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ L\ dt=0}$；

這裏，${\displaystyle L}$是拉格朗日量，${\displaystyle t_{1}}$ 與${\displaystyle t_{2}}$分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right)\delta q_{j}\ dt=0}$。

由於這${\displaystyle N}$個廣義座標中，仍舊有${\displaystyle n}$個不獨立廣義座標，不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目：

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \left(L+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}\right)\ dt=0}$。

經過變分法運算，可以得到方程式

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)+{\mathcal {F}}_{j}\right)\delta q_{j}\ dt=0}$ ;

這裏，${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$是廣義力的${\displaystyle j}$分量：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}=\sum _{i}\ \left[{\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right]}$。

雖然還有${\displaystyle n}$個不獨立廣義座標，仍舊可以調整${\displaystyle n}$加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個虛位移${\displaystyle \delta q_{j}}$的係數都等於0。因此，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}={\mathcal {F}}_{j}}$。

這${\displaystyle N}$個方程式加上${\displaystyle n}$個約束方程式，給予了${\displaystyle N+n}$個方程式來解${\displaystyle N}$個未知廣義座標與${\displaystyle n}$個拉格朗日乘子。

非完整系統至少存在於以下三個狀況：

1. 物體在做滾動運動。
2. 系統的約束包括不等式。
3. 系統的約束與速度有關（例如普法夫約束）。

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 完整系統
• 定常系統
• 單演系統
• 保守系統
• 平行停車問題
• 落貓問題
• 自行車及摩托車的動力學

• Jack Sarfatti. (PDF). Pedagogical Review from the Classics of Physics. 2000-03-26. （原始内容 (PDF)存档于2007-10-20） （英语）.