高斯函数

联立高斯积分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$

和半峰全宽，

${\displaystyle \mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .}$ 解得

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM}$

高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：

• 在统计学与概率论中，高斯函数是正态分布的密度函数，根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。
• 高斯函数是量子谐振子基态的波函数。
• 计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合（参见量子化学中的基组）。
• 在数学领域，高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。
• 高斯函数与量子场论中的真空态相关。
• 在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。
• 高斯函数在图像处理中用作预平滑核（参见尺度空间表示）。

• 劳伦兹函数
• 正态分布
• 洛仑兹变换