高斯判别法

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始）${\displaystyle a_{n}>0}$。倘若其相邻项比值${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$可以被表示为：

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}}$

其中${\displaystyle \lambda }$和${\displaystyle \mu }$都是常数，而${\displaystyle \theta _{n}}$是一个有界的序列，那么 [1][2][3][4][5]：

• 当 ${\displaystyle \lambda >1}$或${\displaystyle \lambda =1,\mu >1}$时，级数收敛；
• 当${\displaystyle \lambda <1}$或${\displaystyle \lambda =1,\mu \leq 1}$时，级数发散。

证明：

${\displaystyle \lambda \neq 1}$时，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {1}{\lambda }}}$，可用达朗贝尔判别法判别； ${\displaystyle \lambda =1}$而${\displaystyle \mu \neq 1}$时，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1)}=\mu }$，可用拉阿伯判别法判别； ${\displaystyle \lambda =\mu =1}$时，因${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\ln {({\frac {n^{2}a_{n}}{a_{n+1}}}-n^{2}-n)}}=\lim _{n\to \infty }{{\frac {\ln {n}}{n}}\theta _{n}}=0}$，依据贝特朗判别法，级数发散。