高斯积分

要想找到高斯积分的闭合形式，首先定义一个近似函数：

${\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx}$，

高斯积分可以通过它的极限来运算：

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

对${\displaystyle I}$取平方获得

${\displaystyle I^{2}(a)=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\cdot \left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy.}$

根据富比尼定理，以上的双重积分可以被看作是直角坐标系上一个正方形的面积积分${\displaystyle \int e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y)}$，其顶点为${\displaystyle \{(-a,a),(a,a),(a,-a),(-a,-a)\}}$。

不论${\displaystyle x}$为任何实数，指数函数${\displaystyle e^{x}}$均大于0，所以这个正方形的内切圆的积分必须小于${\displaystyle I(a)^{2}}$。同理，正方形的外接圆积分必须大于${\displaystyle I(a)^{2}}$。通过从直角坐标系转化到极坐标系${\displaystyle x=r\,\cos \theta }$, ${\displaystyle y=r\,\sin \theta }$, ${\displaystyle d(x,y)=r\,d(r,\theta )}$，可以计算出这两个圆面的积分：

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta }$，

得到

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}}).}$

使用夹擠定理获得高斯积分

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

在这里，对于n为自然数时，沃利斯积分定义为：

${\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\mathrm {d} x={\begin{cases}{\dfrac {n-1}{n}}\cdot {\dfrac {n-3}{n-2}}\cdots {\dfrac {3}{4}}\cdot {\dfrac {1}{2}}\cdot {\dfrac {\pi }{2}}&2|n\\{\dfrac {n-1}{n}}\cdot {\dfrac {n-3}{n-2}}\cdots {\dfrac {4}{5}}\cdot {\dfrac {2}{3}}\cdot 1&2\nmid n\end{cases}}}$

因此有${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}={\frac {I_{n+2}}{I_{n}}}}$的关系，并且根据${\displaystyle I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_{n}}$以及夹挤定理得到${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}=1}$，另外也可以得到${\displaystyle {\frac {(n+2)I_{n+1}I_{n+2}}{(n+1)I_{n}I_{n+1}}}=1}$，因此总有${\displaystyle (n+1)I_{n}I_{n+1}=I_{0}I_{1}={\frac {\pi }{2}}}$，于是可以得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)I_{n+1}}{nI_{n}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)I_{n}I_{n+1}}{nI_{n}^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi }{2nI_{n}^{2}}}=1\\\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}I_{n}&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\end{aligned}}}$

考虑到${\displaystyle \mathrm {e} ^{t}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}}$以及${\displaystyle {\frac {1}{1-t}}=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}}$，因此当${\displaystyle t\geqslant 0}$时该不等式成立：

${\displaystyle {\frac {1}{1-t}}\geqslant \mathrm {e} ^{t}\geqslant 1+t}$

当${\displaystyle t=x^{2}}$并且不等式各边取倒数之后，变成：

${\displaystyle 1-x^{2}\leqslant \mathrm {e} ^{-x^{2}}\leqslant {\frac {1}{1+x^{2}}}}$

各边同时乘方运算与积分，并且最右边的部分积分区间大于左边与中间部分，变成：

${\displaystyle \int _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{-nx^{2}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(1+x^{2})^{n}}}}$

最左边变量代换为${\displaystyle x=\sin \theta }$得${\displaystyle \mathrm {d} x=\cos \theta \mathrm {d} \theta }$；当中变量代换为${\displaystyle x={\frac {y}{\sqrt {n}}}}$；最右边变量代换为${\displaystyle x=\tan \theta }$得${\displaystyle \mathrm {d} x=\sec ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos ^{2}\theta }}}$，变成：

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2n+1}\theta \mathrm {d} \theta \leqslant {\frac {1}{\sqrt {n}}}\int _{0}^{\sqrt {n}}\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} y\leqslant \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2n-2}\theta \mathrm {d} \theta }$

利用诱导公式${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }$，并且同时乘系数${\displaystyle {\sqrt {n}}}$，变成：

${\displaystyle {\sqrt {n}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n+1}\theta \mathrm {d} \theta \leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} y\leqslant {\sqrt {n}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n-2}\theta \mathrm {d} \theta }$

此时即为${\displaystyle {\sqrt {n}}I_{2n+1}\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}\mathrm {e} ^{-y^{2}}\mathrm {d} y\leqslant {\sqrt {n}}I_{2n-2}}$，当${\displaystyle n\to \infty }$时通过夹挤定理可以得到共同极限为${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$，最终有${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x=2\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}}$。

任一高斯函数的积分都可以用以下的公式计算：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$

更为广泛的形式为：

这一公式在计算有关正态分布的一些连续概率分布的数学期望值的时候特别有用，例如对数正态分布。

令${\displaystyle A}$为一个对称的、正定的（因而可逆）${\displaystyle n\times n}$ 精密矩阵（即协方差矩阵的逆矩阵），则

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\left(-{\frac {1}{2}}x^{T}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}}$

这里的积分是对Rⁿ的。上式被用于研究多元正态分布。

同样，

${\displaystyle \int x^{k_{1}}\cdots x^{k_{2N}}\,e^{\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}}$

这里的 σ 表示的是有序集 {1, ..., 2N} 的不同排列。等式右边的系数是对 ${\displaystyle N}$ 个重复的 A^-1 的 {1, ..., 2N} 中所有的组合的求和（the sum over all combinatorial pairings of {1, ..., 2N} of N copies of A⁻¹）。

或者，

${\displaystyle \int f({\vec {x}})e^{\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.e^{\left({1 \over 2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}}$

以上积分中的 ${\displaystyle f}$ 是解析函数，且函数值的增长必须满足某些边界条件以及另一些特定要求。微分算子的幂可以理解为幂级数。

虽然泛函积分没有严格的定义，但是我们仍然可以依照有限维的情况“定义”高斯泛函积分。 然而，${\displaystyle (2\pi )^{\infty }}$ 无穷大的问题依然存在，且大部分的泛函行列式也是无穷大的。如果只考虑比例：

${\displaystyle {\frac {\int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})e^{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}{\mathcal {D}}f}{\int e^{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}{\mathcal {D}}f}}={\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).}$

则可以解决这个问题。在德维特标记法下，此公式与有限维的情况一致。

如果A是一个对称的正定矩阵，则有（假设均为列向量）

${\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}}$

其中，n 为正整数，“!!”表示双阶乘。 这类积分的一种简单的计算方式是应用莱布尼兹积分规则对参数进行微分：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx~=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}~={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}$

也可以先分部积分，然后找出递推关系之后求解。