高次剩餘

數論中，模正整數${\displaystyle m}$的${\displaystyle n}$次剩餘（${\displaystyle n}$為正整數），即某整數${\displaystyle X}$的${\displaystyle n}$次方數${\displaystyle X^{n}}$除以${\displaystyle m}$的餘數。以下討論${\displaystyle m}$是奇質數${\displaystyle p}$，且餘數${\displaystyle d}$不為零的情況。

給定${\displaystyle d}$，若對某個${\displaystyle X}$，有${\displaystyle X^{n}\equiv d{\pmod {p}}}$成立時，則稱${\displaystyle d}$為模${\displaystyle p}$的${\displaystyle n}$次剩餘（英語：）。

否則，對任意${\displaystyle X}$，都有${\displaystyle X^{n}\not \equiv d{\pmod {p}}}$，此時稱${\displaystyle d}$為模${\displaystyle p}$的${\displaystyle n}$次非剩餘（英語：）。

${\displaystyle n}$次剩餘有類似於二次剩餘歐拉判別法的判別法如下： 若${\displaystyle p}$是奇質數，${\displaystyle p}$不能整除${\displaystyle d}$，且${\displaystyle n|p-1}$（即${\displaystyle n}$能整除${\displaystyle p-1}$），則${\displaystyle d}$是模${\displaystyle p}$的${\displaystyle n}$次剩餘的充要條件為：

${\displaystyle d^{\frac {p-1}{n}}\equiv 1{\pmod {p}}}$。

且若上式有解時，解數為${\displaystyle n}$。

若${\displaystyle n}$不能整除${\displaystyle p-1}$，則${\displaystyle d}$是模${\displaystyle p}$的${\displaystyle n}$次剩餘的充要條件為：

${\displaystyle d^{\frac {p-1}{k}}\equiv 1{\pmod {p}},}$

其中${\displaystyle k}$為最大公因數${\displaystyle (n,p-1)}$。同樣上式有解時解數為${\displaystyle k}$。

兩個${\displaystyle n}$次剩餘相乘仍然是${\displaystyle n}$次剩餘，${\displaystyle n}$次剩餘和${\displaystyle n}$次非剩餘相乘為${\displaystyle n}$次非剩餘，但是與二次剩餘不同，當兩個${\displaystyle n}$次非剩餘相乘時，並不一定是${\displaystyle n}$次剩餘。

對於二次剩餘（${\displaystyle n=2}$）的狀況，可以透過計算勒讓德符號來確定，但是當高斯企圖對於任意${\displaystyle n\geq 3}$尋找類似算法時（高斯考慮了${\displaystyle n=3}$和${\displaystyle n=4}$的情況），卻找不到類似的算法，高次剩餘在某些方面的不規則是一個極困難的問題。