CORDIC

若沒有硬體乘法器的話，CORDIC一般會比其他算法要快很多，若是用FPGA或ASIC的話，使用的邏輯閘也會少很多。

CORDIC是FPGA開發應用程式（像是Xilinx的Vivado）中的標準半导体IP核，而不是使用特殊函數的冪級數實現，其原因是CORDIC IP的通用性，CORDIC可以計算許多不同的函數，而為特定函數開發的乘法器只能計算特定的函數。

另一方面，若有硬體乘法器（例如DSP），查表法及冪級數會比CORDIC快很多。近年來，CORDIC演算法常用在生醫應用中，尤其是用FPGA實現的應用。

使用泰勒级数的問題是此方法可以產生小的絕對誤差，但其中沒有良態的相對誤差[17]。其他多項式近似法，例如Minimax近似演算法，可以同時控制這二種的誤差。

在CPU只有整數運算的古老系統中，會將CORDIC放在其IEEE 754函式庫的一部份。現代的通用CPU已有浮點運算暫存器，也有加法、減法、乘法、除法、三角函數、平方根、一般對數、自然對數等，幾乎沒有用到CORDIC的場合。只有一些有特殊安全性或是時間要求的應用程式才會用到CORDIC。

CORDIC可以用來計算許多不同的函數。以下說明如何在旋轉模式（rotation mode）下的CORDIC計算角度的正弦函數和餘弦函數，假設角度以弧度的定點格式表示。要找到一個角度${\displaystyle \beta }$的正弦函數和餘弦函數，可以在單位圓上找到對應角度的y座標和座標。利用CORDIC，會從以下的向量${\displaystyle v_{0}}$開始：

${\displaystyle v_{0}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}.}$

CORDIC演算法的圖解

在第一次的迭代時，向量逆時針轉45°，得到向量${\displaystyle v_{1}}$。接著繼續的迭代，每一次的角度漸漸變小，旋轉方向可能順時針，也可能逆時針，直到得到想要的角度為止。每一次的角度為${\displaystyle \gamma _{i}=\arctan {(2^{-i})}}$，其中${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$。

若以更正式的方式表示，每一次的迭代就是一次旋轉，也就是將向量${\displaystyle v_{i}}$乘以旋转矩阵${\displaystyle R_{i}}$：

${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}.}$

旋转矩阵為

${\displaystyle R_{i}={\begin{bmatrix}\cos(\gamma _{i})&-\sin(\gamma _{i})\\\sin(\gamma _{i})&\cos(\gamma _{i})\end{bmatrix}}.}$

利用以下兩個三角恆等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\gamma _{i})&={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}},\\\sin(\gamma _{i})&={\frac {\tan(\gamma _{i})}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}},\end{aligned}}}$

旋转矩阵變成

${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}}{\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}.}$

旋转向量${\displaystyle v_{i+1}=R_{i}v_{i}}$就會變成下式

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\gamma _{i})}}}{\begin{bmatrix}1&-\tan(\gamma _{i})\\\tan(\gamma _{i})&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

其中${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle y_{i}}$是${\displaystyle v_{i}}$的分量，若將角度${\displaystyle \gamma _{i}}$限制在使${\displaystyle \tan(\gamma _{i})=\pm 2^{-i}}$的值，和tangent的乘法就以變成乘（或除）2的幂次，在數位電腦硬體中可以快速的用位元右移或左移來計算。因此上法會變成

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{bmatrix}}=K_{i}{\begin{bmatrix}1&-\sigma _{i}2^{-i}\\\sigma _{i}2^{-i}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{bmatrix}},}$

其中

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},}$

且${\displaystyle \sigma _{i}}$是用來判斷旋轉方向的。若角度${\displaystyle \gamma _{i}}$為正，則${\displaystyle \sigma _{i}}$為+1，否則則為−1。

所有的${\displaystyle K_{i}}$因子可以在迭代過程中忽略，最後再一次乘以${\displaystyle K(n)}$因子即可：

${\displaystyle K(n)=\prod _{i=0}^{n-1}K_{i}=\prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}},}$

此數可以事先計算好存在表格中，若迭代次數是固定的，只需計算一個常數且儲存即可，甚至此修正也可以事先進行，將常數先乘以${\displaystyle v_{0}}$，可以節省一次乘法。另外，可以注意到[18]

${\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }K(n)\approx 0.6072529350088812561694}$

因此可以簡化演算法的複雜度。有些應用會避免修正${\displaystyle K}$，因此此演算法本身會帶一個增益${\displaystyle A}$[19]：

${\displaystyle A={\frac {1}{K}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=0}^{n-1}{\sqrt {1+2^{-2i}}}\approx 1.64676025812107.}$

在夠多次的迭代後，向量的角度會接近想要的角度${\displaystyle \beta }$。以一般的應用來說，40次的迭代（n = 40）已可以有小數10位的精度。

唯一未解決的問題是判斷每一次迭代要順時針旋轉或逆時針旋轉（選擇${\displaystyle \sigma }$的值）。這可以記錄每一次旋轉的角度，從還需要旋轉的角度中減去此一角度，會得到下一個還需要旋轉的角度${\displaystyle \beta }$。若${\displaystyle \beta _{n+1}}$為正，需要順時針旋轉，否則，就需要順時針旋轉：

${\displaystyle \beta _{0}=\beta }$

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-\sigma _{i}\gamma _{i},\quad \gamma _{i}=\arctan(2^{-i}).}$

${\displaystyle \gamma _{n}}$的值需要事先計算且記錄下來。不過若是小角度，根據小角度近似，在定點數下可得${\displaystyle \arctan(\gamma _{n})=\gamma _{n}}$，因此可以節省儲存用的空間。

如以上所述，角度${\displaystyle \beta }$的正弦函數為其y坐標，餘弦函數為其x坐標。

上述旋轉模式的演算法，是旋轉原來位在x軸上的單位向量。但此演算法可以用來旋轉角度在−${\displaystyle \pi /2}$及${\displaystyle \pi /2}$之間的任意向量，旋轉的方向則依${\displaystyle \beta _{i}}$的正負號決定。

向量模式下的演算法和旋轉模式略有不同。其啟始向量的x坐標要為正值，y坐標則為任意值。持續轉動的目的是將向量旋轉到x軸（因此y座標為0）。每一步裡的旋轉方向會由y的值決定。${\displaystyle \beta _{i}}$的最終值包括了總旋轉角度。x的最終值是原向量的大小，再乘以K。因此，可以看出向量模式可以進行直角坐標到極坐標的轉換。

實現CORDIC需要的邏輯閘大約和乘法器相當，兩者都是用位元移位和加法所組合的。要選擇乘法器或是CORDIC會隨應用而定。若複數以其實部和虛部表示（直角座標），複數乘法會需要進行四次的乘法。但若複數以極座標表示，只要一個CORDIC即可處理，這更適合用在其乘積的量值不重要的應用（例如將向量和單位圓上的向量相乘的情形）。在數位下轉換器之類的通訊相關電路中，常會用到CORDIC。