e進位

在e进制中，自然對數的行為與十進制中的常用對數類似[3]，例如：

${\displaystyle \ln 1_{\left(e\right)}=0}$

${\displaystyle \ln 10_{\left(e\right)}=1}$

${\displaystyle \ln 100_{\left(e\right)}=2}$

${\displaystyle \ln 1000_{\left(e\right)}=3}$

在底數經濟度模型中，e进制被認為是最高效率的進位制。

當一個數用${\displaystyle x}$進位（${\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} }$）表達時，每個位數需要${\displaystyle x}$種符號表達，若要表達一個n位數字要儲存的元素${\displaystyle N(x)}$ ：

${\displaystyle N(x)=nx}$

而${\displaystyle x}$進制系統中表示的n位數的資訊量${\displaystyle I}$（${\displaystyle I>x}$）則有：

${\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}}$

因此，在${\displaystyle x}$進制系統中以n位數能表示I的信息量所需的存儲元素數${\displaystyle N(x)}$為：

${\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}}$

在

${\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}$

之下，求出哪個${\displaystyle x}$能使${\displaystyle N(x)}$最小即可， 即找到能使${\displaystyle N(x)}$微分為0的${\displaystyle x}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

在${\displaystyle \ln x=1}$時${\displaystyle N^{\prime }(x)}$有根${\displaystyle N^{\prime }(x)=0}$，

解得${\displaystyle x=e}$

因此解得以${\displaystyle e}$為底的進位制理論上能有最高的表達效率。

e進制中，除了0、1和2之外，其他整數皆需要以無窮不循環小數來表達，其中整數部分可透過貪婪演算法找出[4]。

常见无理数的e进制表示如下：

• ${\displaystyle \color {blue}\pi }$ ≈ 10.101002020002111120020101 …_(e) （OEIS數列A050948）
• ${\displaystyle \color {blue}e}$ = 10_(e)（在此記數系統為整數）
• ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ ≈ 1.100211011011121120001121 …_(e)
• ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ = ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ≈ 1.112020121110010020000201 …_(e) （OEIS數列A105166）

• e (數學常數)
• 廣義的進位制
• 三進制