易辛模型

H(σ) 中兩項前的負號是約定俗成的。因為第一項為負號，因此參數 J_ij 的正負號決定了該系統的性質，對於每一對 i 和 j :

${\displaystyle J_{ij}>0}$ ，則該系統為鐵磁性。

${\displaystyle J_{ij}<0}$ ，則該系統為反鐵磁性。

${\displaystyle J_{ij}=0}$ 表示自旋間無交互作用。

除此之外該系統為 非鐵磁性。

在鐵磁性的易辛模型中，相鄰自旋同方向時能量較低，因此自旋會傾向於同向排列，反之，在反鐵磁性的易辛模型中，相鄰自旋反向的能量較低，因此自旋會頃向於反向排列。

H(σ) 中的第二項為負號，表示自旋頃向於和外加磁場同向，因此 h_j 的正負也決定自旋頃向排列的方向。對於所有的j ，如果:

${\displaystyle h_{j}>0}$, 則晶格點 j 頃向於朝向正向。

${\displaystyle h_{j}<0}$, 則晶格點 j 頃向於朝向負向。

${\displaystyle h_{j}=0}$, 表示沒有外加力場作用在自旋上 。

一個常見的簡化是假設沒有外加的磁場作用在易辛模型上，也就是說，對於所有的 j∈Λ，h_j = 0 。利用這項簡化，其哈密頓量可以寫成:

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{<i~j>}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

此時易辛模型在反轉所有自旋之下是對稱的:一個外加的力場會破壞這種對稱。

另一個常見的簡化是假設所有相鄰晶格點的交互作用都是相等的，因此可以設 J_ij = J 對於所有相鄰的 i, j ∈Λ，而其哈密頓量可以寫: ${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{<i~j>}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

易辛模型一般來說很難直接進行數值計算，因為他的自旋組態非常之多。考慮一個擁有 L 個晶格點的模型，每個晶格點 σ_j 有 ±1 兩種可能，因此所有的自旋組態共有 2^L 種可能[7]，這個數字會隨著 L 的增加而進行指數增長。這也是為什麼一般在做易辛模型的數值模擬時，都會採用蒙地卡羅方法（Monte Carlo method）[7]

用蒙特卡洛方法來模擬易辛模型所用的哈密頓量為:

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{<ij>}\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.}$

此外，可以假設外加磁場 (h) 為零以簡化模型，因為大部分的問題都只需要用到零磁下的模型。因此，近一步簡化的哈密頓量為

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{<ij>}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

可以從這個模型計算出的物理量包括該系統在定溫下的比熱和磁化強度等等。[7]

Metropolis–Hastings演算法是在數值模擬易辛模型時最常用的一種蒙地卡羅方法。[7]這種方法首先要選定一個選擇機率 g(μ, ν)，代表系統在狀態μ下，在所有可能狀態中選到狀態ν的機率。另外還需定義出一個接受機率 A(μ, ν) ，也就是說當系統在狀態μ下，接受系統跳到態ν的機率。如此的設計是為了讓系統達到細緻平衡。如果狀態ν被接受了，則整個系統就會跳到狀態ν，並且選擇和決定下一個要跳到的狀態。如果狀態ν被沒被接受，系統則留在狀態μ，一樣重新選擇下一個要跳到的狀態。這樣的步驟一直重複直到某些條件達成為止，譬如說整個易辛模型完全被磁化，也就是所有的自旋都只到同一個方向。[7]另外在實行這種演算法，有一點需要注意的是需要選到適當 g(μ, ν) 以保證整個過程的遍歷性(ergodicity)。

在熱平衡時，整個系統的能量只會有小幅度的擾動[7]，這點促成了在演算時採用單一自旋反轉法進行計算，也就是說每次系統轉換其狀態時，只改變其中一個自旋的方向。對自旋數很多的一易辛模型來說，系統在不同的狀態之間跳躍時，其能量改變的幅度都很小。事實上，對於每個晶格點都和 c 個晶格點相鄰的模型來說，每次能量改變的最大幅度為 2cJ。此外，採用這種單一自旋反轉法可以保證演算過程的遍歷性，因為任意一個狀態都可以藉由逐次的反轉相異的自旋，而變成任意其他狀態[7]。

在下面的演算過程我們會採用周期性边界条件使的每個晶格點的相鄰數 c 都相等。[7]

整個用於數值模擬易辛模型的演算過程，可由下列的方法建立。

因為共有 L 個晶格點，而且單一自旋反轉法是唯一系統可以從一個狀態跳到另一個狀態的方法，所對於任何一個狀態 μ，有 L 個新狀態 ν 它可以跳去。可以假設 μ 跳到這 L 個新狀態的機率是相等的，因此 g(μ, ν) = 1/L。 為了滿足細緻平衡，所以下面的等式要成立:

${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$

因此我們希望接受機率滿足:

${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$

如果 H_ν > H_μ 則 A(ν, μ) > A(μ, ν)，因此 Metropolis 另 A(μ, ν) 和 A(ν, μ) 中較大的為 1。按照這樣的定可以得到 A(μ, ν) 的值為: [7]

${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0\\1,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

最後，整個演算法最基本的形式為:

1. 用 g(μ, ν) 選出一個自旋，並且計算所有和其自旋相關的能量貢獻。(也就是所有和它相鄰自旋交互作用的能量貢獻。)
2. 反轉其自旋，再計算一次所有和它相關的能量貢獻。
3. 如果其能量貢獻下降，保持自旋反轉。
4. 如果貢獻能量上升，則令自旋有 ${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}}$ 的機率保持反轉。
5. 重複步驟一。

整個系統能量的改變量 H_ν−H_μ 只和反轉的自旋和和它相鄰的自旋有關，所以只要相鄰的自旋數不要太多，計算的速度算是相當快的。而整個系統會逐漸的趨近於某個平衡。

將易辛模型比擬為馬可夫鏈是一件很容易的事情，因為下一刻狀態 ν 的轉移機率 P_β(ν) 只和目前狀態 μ有關 。事實上，Metropolis 演算法就是馬可夫蒙地卡羅(Markov Chain Monte Carlo)的一個版本。而且因為演算時採用的是單一自旋反轉法，每個狀態可視為和另外 L 個狀態相連，而每一個狀態轉移則是將其中一個自旋反轉。[8] 此外，因為不同狀態之間 H_σ 變化只和相鄰自旋的交互作用 J 有關，所以易辛模型也可視為選民模型的一種。

易辛自己的论文中已给出了一维易辛模型配分函数精确解。[2]无外加磁场，即h = 0时，计算是很简单的。

此时能量简化为：

${\displaystyle H(\sigma )=-J(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{N-1}\sigma _{N}).}$

对于相邻两原子自旋朝向的四种情况，之间的能量只有两种状态：同向和反向。应用变量替换，

${\displaystyle \sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1}\qquad j\geq 2.}$

代入配分函数定义式，得：

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}\;e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\;\cdots e^{\beta J\sigma _{N-1}\sigma _{N}}=2\prod _{j=2}^{N}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{N-1}.}$

因此，系统的自由能为

${\displaystyle f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].}$

同样的变量替换法，得间隔N-1个自旋间的相关函数：

${\displaystyle \langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N}}$

T ≠ 0时相关性呈指数衰减。而仅仅在绝对零度时T = 0下，换句话说，β → ∞ 时，系统保持长程相关性。

如果外磁场h ≠ 0，配分函数的计算需要引入传递矩阵法。周期性边界条件的近似下，配分函数为

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}\;e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\;\cdots e^{\beta h\sigma _{N}}e^{\beta J\sigma _{N}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{N},\sigma _{1}}.}$

系数${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}}$可视为2x2矩阵的元素。相邻两自旋各有四种可能状态，其玻尔兹曼因子分别为：

${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}}$

或写作传递矩阵的四个元素：

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.}$

配分函数的展开式恰好和传递矩阵自乘后对角元素之和（矩阵的迹）一致。而矩阵的迹可通过求解传递矩阵的特征值得出，因而：

${\displaystyle Z(\beta )={\rm {Tr}}V^{N}=\lambda _{1}^{N}+\lambda _{2}^{N}=\lambda _{1}^{N}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\right]}$

其中λ₁是V最大的特征值，λ₂是该矩阵另一个特征值。因而

${\displaystyle \lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}}$

由于|λ₂| < λ₁，当N很大时对配分函数的贡献可忽略。

系统最低能量为−N，此时所有自旋朝向相同。而其它构型相较基态的能量增量等于一维序列中自旋转向的次数k。例如，能量次低的状态相较基态，能量差为2k。由于能量与转向数之间是线性关系，则两个相邻自旋方向相反的概率符合玻尔兹曼分布：

${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{-2\beta J}.}$

藉由統計力學的配分函數可以計算再給定溫度下${\displaystyle T}$ (${\displaystyle \beta =1/(kT)}$)的每個原子的磁矩期望值為

${\displaystyle M(H,T)={\frac {\sinh(\beta H)}{\sqrt {\sinh ^{2}(\beta H)+e^{-4\beta J}}}}}$.

所以一維易辛模型並沒有居里温度、不會發生相變，即沒有自发磁化的現象。

${\displaystyle M(0,T)=0}$.