全纯函数

• 所有的复系数多项式函数为整函数

• 所有复系数的有理函数，在除去极点以外的区域均为全纯。例如，函数${\displaystyle f:z\mapsto {\frac {1}{z}}}$在${\displaystyle \mathbb {C^{*}} }$上为全纯函数。

若${\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$复系数幂级数，且收敛半径不为零，我们记${\displaystyle D}$为其收敛区域。

函数

${\displaystyle {\begin{aligned}f:D&\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto \Sigma _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\\\end{aligned}}}$

为全纯函数，且任取${\displaystyle z\in D,f'(z)=\Sigma _{n\geq 1}{na_{n}z^{n-1}}}$.事实上，这个函数在${\displaystyle D}$上无穷可导。

指数函数为整函数，同样地，三角函数${\displaystyle \sin z,\,\cos z}$[註 4]与双曲函数同样为整函数。

若在一个连通集上的函数${\displaystyle L:U\rightarrow \mathbb {C} }$满足条件：${\displaystyle \forall z\in D,\exp(L(z))=z}$，则称其为一个复对数函数。

另有一等价定义，即若全纯函数${\displaystyle L}$在${\displaystyle U}$上以${\displaystyle z\mapsto 1/z}$为导数，且存在一点${\displaystyle z_{0}}$，使得这一点${\displaystyle \exp(L(z_{0}))=z_{0}}$，则称其为一个复对数函数。

在${\displaystyle \mathbb {C^{*}} }$的任意开子集${\displaystyle U}$上，若有一个复对数${\displaystyle L}$，那么任取整数${\displaystyle k}$，函数${\displaystyle z\mapsto L(z)+2k\pi i}$也为${\displaystyle U}$上的复对数函数。

在${\displaystyle \mathbb {C^{*}} }$的任意开子集${\displaystyle U}$上，若有一个复对数${\displaystyle L}$，那么任取复数${\displaystyle a}$，在${\displaystyle U}$上${\displaystyle a}$阶幂函数可以定义为${\displaystyle \forall z\in U,z^{a}=\exp(aL(z))}$

特别地，任取整数${\displaystyle n>0}$，有${\displaystyle z^{1/n}=\exp((1/n)L(z))}$，满足${\displaystyle \forall z\in U,(z^{1/n})^{n}=z}$，我们称此表达式为${\displaystyle U}$上${\displaystyle n}$阶幂的定义式。另外，记${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}:=z^{1/n}}$[註 5]。