复平面

在复分析中复数通常用符号${\displaystyle z}$表示，它可以分为实部 (${\displaystyle x}$) 与虚部 (${\displaystyle y}$)：

${\displaystyle z=x+iy\,}$

这里${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$是实数，${\displaystyle i}$是虚单位。在这种通常记法下复数${\displaystyle z}$对应与笛卡儿平面中的点${\displaystyle (x,y)}$。

笛卡儿平面中的点${\displaystyle (x,y)}$在极坐标中也能表示为

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\qquad \left(r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arctan {\frac {y}{x}}\right).\,}$

在笛卡儿平面中可能假设反正切函數${\displaystyle \arctan }$取值于${\displaystyle -\pi }$到${\displaystyle \pi }$弧度（当${\displaystyle x\leq 0}$时，对${\displaystyle (x,y)}$定义“真正的”反正切函数需要一点考虑[3]。在复平面上它们的极坐标具有如下形式（第三个等号源自欧拉公式）

${\displaystyle z=x+iy=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=|z|e^{i\theta }\,}$

这里

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};\quad \theta =\arg(z)=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\,}$[4]

这里${\displaystyle |z|}$是复数${\displaystyle z}$的绝对值或模长；${\displaystyle \theta }$，${\displaystyle z}$的辐角，通常取值于区间${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$；最后一个等式（${\displaystyle |z|e^{i\theta }}$）得自欧拉公式。注意${\displaystyle z}$的辐角是多值的，因为复指数函数是周期为${\displaystyle 2\pi i}$。从而，如果${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle \arg z}$的一个值，其它值由${\displaystyle \arg z=\theta +2n\pi }$给出，这里${\displaystyle n}$是任何${\displaystyle \neq 0}$整数[5]。

围道积分理论是复分析的重要组成部分。在此情形，沿着闭曲线的积分方向是要紧的——沿着相反的方向所得的积分值乘以 −1。习惯上“正方向”是逆时针方向。例如，沿着单位圆我们从点${\displaystyle z=1}$开始，向左上移动经过${\displaystyle z=i}$，然后向左下经过 −1，右下经过${\displaystyle -i}$，最后向右上移动到达起点${\displaystyle z=1}$，这就是单位圆的正方向。

几乎所有复分析专注复函数——即将复平面的一个子集映到复平面某个另外的（可能相交甚至重合）子集。这里习惯说${\displaystyle f(z)}$的定义域位于 z-平面上，并称${\displaystyle f(z)}$的值域或像作为 w-平面中的一个点集。用符号记成

${\displaystyle z=x+iy;\qquad f(z)=w=u+iv,\,}$

并经常将函数${\displaystyle f}$视为 z-平面（带有坐标${\displaystyle (x,y)}$）到 w-平面（带有坐标${\displaystyle (u,v)}$） 的变换。

将复平面视为一个球面的一部分是有用的。给定一个单位半径球面，使复平面穿过其正中间，这样球的中心与复平面的原点${\displaystyle z=0}$重合，球面上的赤道与平面的单位圆重合。

我们可以将球面上的点与复平面建立如下一一对应。给定平面上一点，连接这一点与球面的北极之直线与球面恰好交于另一点。点${\displaystyle z=0}$将投影到球面的南极。因为单位圆周的内部在球面内，整个区域（${\displaystyle |z|<1}$）将映到南半球。单位圆周自己（${\displaystyle |z|=1}$）映到赤道，而单位圆周的外部（${\displaystyle |z|>1}$）将映到北半球。显然这个过程是可逆的——给定任何球面上的不为北极的点，我们连接这一点与北极，与平面恰好交与一点。

在这个球极平面投影中只北极这一点，不能对应到复平面上任何一点。我们将其变成一一对应，添加一个理想的点——所谓的无穷远点——到复平面上，使其与球面的北极对应。复平面添加一个无穷远点这个拓扑空间，称为扩充复平面。这就是数学家在讨论复分析时为什么说单个无穷远点。在实数轴上有两个无穷远点，但扩充复平面上只有一个（北极）无穷远点[6]。

想象一下球面上的经线和纬线投影到平面上会变成什么。平行于赤道的所有纬线，它们将变为以原点${\displaystyle z=0}$为圆心的圆周；而经线将变为经过原点的直线（从而也经过无穷远点，因为它们在球面上同时经过北极和南极）。

这不是从球面到平面惟一的球极平面投影。例如，球面的南极点可能置于平面的原点${\displaystyle z=0}$之上，球面于平面在这一点相切。细节事实上并不重要，任何球面到平面的球极投影都将产生一个无穷远点，球面上的纬线与经线将分别映成平面上的圆周与直线。

当讨论一个复变函数时，想象“切割”复平面经常会有方便之处。这种想法自然出现于多种不同情境。

我们已经见到关系

${\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{\frac {1}{2}},\,}$

怎样通过将${\displaystyle f}$的定义域分割成两个不连通的片变成一个单值函数。还可以将这两片黏合在一起形成一个黎曼曲面，在它上面${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}$可以定义为一个全纯函数，其像是整个 w-平面（除去点${\displaystyle w=0}$）。具体做法如下：

考虑两个切开的复平面副本，切割沿着正实轴从${\displaystyle z=0}$到无穷远点。在一片上定义${\displaystyle 0\leq \arg z<2\pi }$，所以由定义${\displaystyle 1^{\frac {1}{2}}=e^{0}=1}$。在第二片上定义${\displaystyle 2\pi \leq \arg z<4\pi }$，同样由定义有${\displaystyle 1^{\frac {1}{2}}=e^{i\pi }=-1}$。现在将第二片翻转，从而虚轴与第一片虚轴方向相反，实轴指向相同的方向，将两片“黏合”起来（从而第一片标为“${\displaystyle \theta =0}$”的边与第二片标为“${\displaystyle \theta <4\pi }$”的边相连，而第二片标为“${\displaystyle \theta =2\pi }$”的边与第一片标为“${\displaystyle \theta <2\pi }$” 的边相连）。得到一个黎曼曲面，${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}}$在这个曲面上单值全纯[7]。

为了理解为什么${\displaystyle f}$在这个区域上是单值，想象沿着单位圆绕一圈，从第一片上的${\displaystyle z=1}$ 开始。当${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$是我们仍然在第一片上；当${\displaystyle \theta =2\pi }$我们转移到第二片，沿着分支点 ${\displaystyle z=0}$在第二片上再绕一圈回到我们的起点，由我们的黏合方式，这里${\displaystyle \theta =4\pi }$等价于${\displaystyle \theta =0}$。换句话说，当变量${\displaystyle z}$沿着分支点绕两周，${\displaystyle z}$在 w-片面的像只绕一周。

形式微分说明

${\displaystyle f(z)=z^{\frac {1}{2}}\quad \Rightarrow \quad f^{\prime }(z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}z^{-{\frac {1}{2}}}\,}$

由此我们可说${\displaystyle f}$的导数在黎曼曲面上除了${\displaystyle z=0}$之外任何地方都存在且为有限（即${\displaystyle f}$在${\displaystyle z=0}$之外全纯）。

上面讨论过的函数

${\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{\frac {1}{2}},\,}$

的黎曼曲面如何构造呢？我们同样从两个 z-平面副本开始，但这一次每个沿着实轴从${\displaystyle z=-1}$到${\displaystyle z=1}$切开——它们是 ${\displaystyle g(z)}$的两个分支点。我们将其中一个翻转，从而两个虚轴指向相反，将这两个切片的对应边黏合。通过沿着以${\displaystyle z=1}$为中心的单位圆绕一圈，我们可以验证${\displaystyle g}$在所得的曲面上是单值函数。从第一片上${\displaystyle z=2}$开始，沿着圆周绕半圈遇到${\displaystyle z=0}$的切割。切割强迫我们转到第二片，从而当 ${\displaystyle z}$沿着分支点${\displaystyle z=-1}$ 绕 一整圈，${\displaystyle w}$恰好绕了半圈，${\displaystyle w}$的符号反过来了（由于${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$），而我们的路径到达这个曲面的第二片上的${\displaystyle z=2}$。继续半周我们遇到了另一个边的切割，在${\displaystyle z=0}$处，在绕分支点两周之后最终到达我们的起点（第一片上的${\displaystyle z=2}$）。

这个例子中标记${\displaystyle \theta =\arg z}$的自然方式是在第一片上令${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$，第二片为${\displaystyle \pi <\theta \leq 3\pi }$。两片的虚轴方向相反，从而一片上逆时针意义的正旋转仍然是另一片上的闭回路运动（记住第二片翻转了）。想象这个曲面嵌入一个三维空间，两片都平行于 xy-平面。则这个平面上出现一个铅直洞，在此处两个切割连接起来。如果当切割是从 ${\displaystyle z=-1}$沿负实轴到无穷，然后沿正实轴到${\displaystyle z=1}$，又是如何呢？同样可以构造一个黎曼曲面，但这一次“洞”是水平的。 从拓扑上说，这两个黎曼曲面是等价的，它们都是亏格为 1 的可定向二维曲面。

本文中上面几节将“复平面”处理为复数的几何类比。尽管术语“复平面”这种用法具有长期与数学悠久的历史，但并不意味着是惟一的称之为“复平面”的数学概念。至少有三种其它可能。

1. 1 + 1 维闵可夫斯基空间，也称为分裂复平面，代数分裂复数可分解为两个实数部分，容易将其关联到笛卡儿平面里的点${\displaystyle (x,y)}$ 。
2. 实数上的二元数集合也能与笛卡儿平面中的点${\displaystyle (x,y)}$一一对应，给出了另一个“复平面”。
3. 向量空间 C×C，复数与自身的笛卡儿积，是一个其坐标为复数的二维向量空间，在这种意义下也是一个“复平面”。

• 星座图
• 拉普拉斯变换
• 黎曼球面
• 黎曼曲面
• S平面
• Z-变换

• Francis J. Flanigan, Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions, Dover, 1983 ISBN 0-486-61388-7.
• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
• H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

维基共享资源上的相关多媒体资源：复平面

• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.