外接圓

任何三角形都有外接圓。三角形外心的位置在三角形的三條邊的垂直平分線的交點上，到三個頂點的距離都相等（等於外接圓的半徑），而且：

• 對於直角三角形，外心是斜邊的中點，外接圓半徑即斜邊長度的一半。這是泰勒斯定理的形式之一。
• 對於鈍角三角形：外心在三角形外，靠近最長邊。
• 對於銳角三角形：外心在三角形內。

若以R表示三角形外接圓半徑，那麼根據正弦定理，${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$。 若以"S"表示三角形面积，由于${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C}$，整理得到 ${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}$。

过三点圆的方程为${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}$[1]，故三角形外心坐标为${\displaystyle ({\frac {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{vmatrix}}{2{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\end{vmatrix}}{2{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}})}$

圓內接四邊形對角互補，其面積A可以用婆羅摩笈多公式求得：${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$，其中a, b, c, d為四邊的長度，s為半周長。

其外接圓半徑為：${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}}{4A}}}$。

邊長相等的四邊形中，以圓內接四边形最大。

所有的正多边形都有外接圆，外接圆的圆心和正多边形的中心重合。边长为a的n邊正多边形外接圆的半径为：

${\displaystyle R_{n}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{2}}\csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

面積为：

${\displaystyle A_{n}=\pi R_{n}^{2}={\frac {\pi a^{2}}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {\pi a^{2}}{4}}\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

正n 边形的面积${\displaystyle S_{n}}$与其外接圆的面积${\displaystyle A_{n}}$之比为

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {S_{n}}{A_{n}}}={\dfrac {{\frac {na^{2}}{4}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{{\frac {\pi a^{2}}{4}}\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {n}{\pi }}\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2\pi }}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

故此，當n趨向無窮時，

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2\pi }}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)=1}$

另外，其內切圓的面積${\displaystyle s_{n}}$與其外接圓的面積${\displaystyle A_{n}}$之比為:

${\displaystyle \tau _{n}={\frac {s_{n}}{A_{n}}}={\frac {s_{n}}{S_{n}}}\cdot {\frac {S_{n}}{A_{n}}}=\varphi _{n}\rho _{n}=\left[{\frac {\pi }{n}}\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]\left[{\frac {n}{\pi }}\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right]=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

• 内切圆
• 旁切圆
• 九点圆
• 最小外接圆
• 外接球
• 塔里點