孪生素数

1921年，英国数学家哈代和李特尔伍德也做出了类似的猜测。他们提出以下的猜想：设${\displaystyle \pi _{2}(N)}$为前${\displaystyle N}$ 个自然数里孪生素数的个数。那么

${\displaystyle \pi _{2}(N)\approx \int _{2}^{N}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}}\approx 2C_{twin}\ {\frac {N}{\ln ^{2}N}}}$

其中的常数${\displaystyle C_{twin}}$是所谓的孪生素数常数：

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{twin}&=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{10^{2}}}\right)\cdots \ =\prod _{p>2}\left[1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right]\\&=0.6601618158468695739278121\ldots \end{aligned}}}$

其中的${\displaystyle p}$表示素数[1]。

哈代和李特尔伍德的猜测实际上是存在已久的孪生素数猜想的加强版。孪生素数猜想是指“孪生素数有无穷多个”。这个猜想至今仍未被证明。然而，哈代和李特尔伍德的猜测并不是需要建立在孪生素数猜想成立的前提上。很多时候，对于无法证明的命题，数学家会尝试证明比它更强或更为广泛的命题，从而解决原来的命题。例如数学家安德鲁·怀尔斯就是证明了比费马最后猜想更广泛的命题，从而完成了费马最后猜想的证明[1]。

2013年5月14日，《自然》杂志报道，数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差（上界）都小于7000万。论文已被《数学年刊》（Annals of Mathematics）接受 [4][5][6]。截至2014年10月9日 (2014-10-09), 素数对之差被缩小为${\displaystyle \leq 246}$。[7]

布朗的另一个结论，是发现所有孪生素数的倒数之和收敛，即收敛到布朗常数${\displaystyle B_{2}}$：

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\cdots =B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}}$的值大约在1.9与2之间。与之相对的，所有素数的倒数之和是发散的。由于孪生素数的倒数之和收敛，所以无法依此证明孪生素数有无限个[1]。

布朗还发现了孪生素数数量的一个上限。他证明了：

${\displaystyle \pi _{2}(x)<{\frac {100x}{\ln ^{2}x}}}$

也就是说，当${\displaystyle x}$足够大的时候，小于${\displaystyle x}$的孪生素数的数量比起小于${\displaystyle x}$的素数的数量是可以忽略不计的。1987年的一个结果改进了这个上限：

${\displaystyle \pi _{2}(x)<{\frac {7.1C_{twin}x}{\ln ^{2}x\left({\frac {1+C'\ln \ln x}{\ln x}}\right)}}}$

其中${\displaystyle C'}$是一个常数。1998年上限中的7.1被改进为6.833[1]。

孪生素数还必须满足一些必要的条件，比如：

• 大于3的孪生素数可以表示成${\displaystyle (6n-1,6n+1)}$，其中${\displaystyle n}$为一个自然数。除了${\displaystyle n=1}$的情形，${\displaystyle n}$必须以0，2，3，5，7或8结尾。

• 可以证明：${\displaystyle (m,m+2)}$是孪生素数，当且仅当

${\displaystyle 4[(m-1)!+1]+m=0\mod [m(m+2)]}$[1]

统计分析所有小于${\displaystyle 4.35\times 10^{15}}$的孪生素数，可以得到小于${\displaystyle x}$的素数对的个数是${\displaystyle {\frac {x\cdot f(x)}{(\log x)^{2}}}}$。当${\displaystyle x}$较小时，${\displaystyle f(x)}$大约为 1.7， 当${\displaystyle x}$较大时大约为 1.3。这个值和${\displaystyle 2C_{twin}=1.3203236\ldots }$相近。

以下的多项式时由维也纳大学数学系教授克里斯多夫·巴萨（Christoph Baxa）提出的，基于丢番图不定方程理论。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=(k+2)\left[1-(wz+h+j-q)^{2}-\left((g+1)(h+j)+h-z\right)^{2}-(p+q+z+2n-e)^{2}\right.\\&-\left(e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}\right)^{2}-\left((a^{2}-1)(n+v+l)^{2}+1-x^{2}\right)^{2}\\&-\left(((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4d(n+l+v))^{2}+1-(x+cu)^{2}\right)^{2}-\left((a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}\right)^{2}\\&-\left(p+l(a-n-1)+b(2a(n+1)-(n+1)^{2}-1)-m\right)^{2}-\left(16(a^{2}-1)(n+v+l)^{2}+1-x^{2}\right)^{2}\\&-\left(q+(n+l+v)(a-p-1)+s(2a(p+1)-(p+1)^{2}-1)-x\right)^{2}\\&-\left(z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm\right)^{2}-\left(16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}\right)^{2}\\&-\left.\left(k+1-ia-i-l\right)^{2}-\left(4g+k+10-y(k+2)(k+4)\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

其中有二十六个不定量${\displaystyle a,b,c,\cdots ,y,z}$。当这二十六个变量取遍所有的自然数的时候，这个多项式的取值中正数的部分就会取遍所有孪生素数对${\displaystyle (p,p+2)}$中的${\displaystyle p}$[1]。