整数

整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z⁺或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：${\displaystyle Z^{-}}$或${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z⁺₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}$），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z^-₀或${\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{-}}$）。在数论中自然数${\displaystyle \mathbb {N} }$通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

下表给出任何整数${\displaystyle a,b,c}$的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	${\displaystyle a+b}$是整数	${\displaystyle a\times b}$是整数
结合律	${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$	${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$
交换律	${\displaystyle a+b=b+a}$	${\displaystyle a\times b=b\times a}$
存在单位元	${\displaystyle a+0=a}$	${\displaystyle a\times 1=a}$
存在逆元	${\displaystyle a+(-a)=0}$	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数${\displaystyle a}$关于乘法的逆元为${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$，都不为整数。
分配律	${\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是${\displaystyle \mathbb {Z} }$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$同构。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

${\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c<d}$，则${\displaystyle a+c<b+d}$（加法）
• 若${\displaystyle a<b}$且${\displaystyle c>0}$，则${\displaystyle a\times c<b\times c}$；若${\displaystyle c<0}$，则${\displaystyle a\times c>b\times c}$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

${\displaystyle \mathbb {Z} }$的基數（或勢）是ℵ₀，與${\displaystyle \mathbb {N} }$相同。這可以從${\displaystyle \mathbb {Z} }$建立一雙射函數到${\displaystyle \mathbb {N} }$來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x+1,&{\mbox{if }}x\geq 0\\2|x|,&{\mbox{if }}x<0\end{cases}}}$

當該函數的定義域僅限於${\displaystyle \mathbb {Z} }$，則證明${\displaystyle \mathbb {Z} }$與${\displaystyle \mathbb {N} }$可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

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