点积

向量${\displaystyle {\vec {a}}=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$和${\displaystyle {\vec {b}}=[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$的点积定义为：

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

这裡的Σ是求和符号，而n是向量空間的維度。

例如，三维向量${\displaystyle \left[1,3,-5\right]}$和${\displaystyle \left[4,-2,-1\right]}$的点积是

${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$

点积还可以写为：

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}{\vec {b}}^{T}}$。

这裡，${\displaystyle {\vec {b}}^{T}}$是行向量${\displaystyle {\vec {b}}}$的转置。

使用上面的例子，1×3矩阵（行向量）乘以3×1矩阵（列向量）的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩陣):

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3}$。

在欧几里得空间中，点积可直观定义为

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \;}$

这里 |${\displaystyle {\vec {x}}}$| 表示${\displaystyle {\vec {x}}}$的模（长度），${\displaystyle \theta }$表示向量间的角度。

注意：点积的形式定义和这定义不同；在形式定义，${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$的夹角用上述等式定义。

这样，互相垂直的两條向量的点积总是零。若${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两條向量，它们之间的夹角可以以下公式得到：

${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {\mathbf {a\cdot b} }{|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}}}$

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一向量投影到第二向量上（向量顺序这裡在不重要，点积运算可交换），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这分数一定是小于等于1的，可以简单转化成角度值。

A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。

欧氏空间中向量${\displaystyle \mathbf {A} }$在向量${\displaystyle \mathbf {B} }$上的标量投影是指對於向量B來說向量A的垂直度到向量B的代表長度

${\displaystyle A_{B}=|\mathbf {A} |\cos \theta }$

这里${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle \mathbf {A} }$和${\displaystyle \mathbf {B} }$的夹角。从点积的几何定义${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta }$不难得出，两向量的点积：${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$可以理解为向量${\displaystyle \mathbf {A} }$在向量${\displaystyle \mathbf {B} }$上的投影再乘以${\displaystyle \mathbf {B} }$的长度。

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{B}|\mathbf {B} |=B_{A}|\mathbf {A} |}$

点积的两种定义中，只需给定一种定义，另外一种定义就可以推出。

设${\displaystyle e_{1},...,e_{n}}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$空间的一组标准正交基，可以得出：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {B} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$

上文中已经得知两條向量点积的几何定义实际上就是一條向量在另外一條向量上的投影，故${\displaystyle \mathbf {A} }$在任一标准基${\displaystyle e_{n}}$的点积${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i}}$就是${\displaystyle \mathbf {A} }$在此标准基向量上的投影，而根据向量自身的定义，这个投影即为${\displaystyle a_{i}}$。因此：

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}}$

应用余弦定理。 注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到${\displaystyle n}$维的情形。

考虑向量

${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}{\vec {i}}+v_{2}{\vec {j}}+v_{3}{\vec {k}}\;}$.

重復使用勾股定理得到

${\displaystyle |{\vec {v}}|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;}$.

而由代数定义

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;}$,

所以，根据向量点积的代数定义，向量${\displaystyle {\vec {v}}}$和自身的点积就是其长度的平方。

引理1

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {v}}|^{2}\;}$

现在，考虑从原点出发的两條向量${\displaystyle {\vec {a}}}$和${\displaystyle {\vec {b}}}$，夹角${\displaystyle \theta }$。第三條向量${\displaystyle {\vec {c}}}$定义为

${\displaystyle {\vec {c}}\equiv {\vec {a}}-{\vec {b}}\;}$,

构造以${\displaystyle {\vec {a}}}$，${\displaystyle {\vec {b}}}$，${\displaystyle {\vec {c}}}$为边的三角形，采用余弦定理，有

${\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}$.

根据引理1，用点积代替向量长度的平方，有

${\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}$. （1）

同时，根据定义${\displaystyle {\vec {c}}}$ ≡ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ - ${\displaystyle {\vec {b}}}$，有

${\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\;}$,

根据分配律，得

${\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\;}$. （2）

连接等式（1）和（2）有

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}$.

简化等式即得

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;}$,

以上即为向量点积的几何定义。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (${\displaystyle n\leq 3}$)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

${\displaystyle \left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}$

点积可以用来计算合力和功。若${\displaystyle {\vec {b}}}$为单向量，则点积即为${\displaystyle {\vec {a}}}$在方向${\displaystyle {\vec {b}}}$的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

矩阵具有弗罗比尼乌斯内积，可以类比于向量的内积。它被定义为两个相同大小的矩阵A和B的对应元素的内积之和。

复矩阵情况下：

${\displaystyle \mathbf {A}$ :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {H} }).}

实矩阵情况下：

${\displaystyle \mathbf {A}$ :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).}