自旋

对于像光子、电子、各种夸克这样的基本粒子，理论和实验研究都已经发现它们所具有的自旋无法解释为它们所包含的更小单元围绕质心的自转（即使使用經典电子半径，电子“赤道”处的速度也需要超光速才能解释其自旋角动量）。由于这些不可再分的基本粒子可以认为是真正的点粒子，因此自旋与质量、电量一样，是基本粒子的内禀性质。

在量子力学中，任何体系的角动量都是量子化的，其值只能为：

${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}},}$

其中${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数，而自旋量子数是整数或者半整数（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自旋量子数可以取半整数的值，这是自旋量子数与轨道量子数的主要区别，后者的量子数取值只能为整数。自旋量子数的取值只依赖于粒子的种类，无法用现有的手段去改变其取值（不要与自旋的方向混淆，见下文）。

例如，所有电子具有${\displaystyle s=1/2}$的自旋，自旋为1/2的基本粒子还包括正电子、中微子和夸克，光子是自旋为1的粒子，理论假设的引力子是自旋为2的粒子，希格斯玻色子在基本粒子中比较特殊，它的自旋为0。

对于像质子、中子及原子核这样的亚原子粒子，自旋通常是指总的角动量，即亚原子粒子的自旋角动量和轨道角动量的总和。亚原子粒子的自旋与其它角动量都遵循同样的量子化条件。

通常认为亚原子粒子与基本粒子一样具有确定的自旋，例如，质子是自旋为1/2的粒子，可以理解为这是该亚原子粒子能量量低的自旋态，该自旋态由亚原子粒子内部自旋角动量和轨道角动量的结构决定。

利用第一性原理推导出亚原子粒子的自旋是比较困难的，例如，尽管我们知道质子是自旋为1/2的粒子，但是原子核自旋结构的问题仍然是一个活跃的研究领域。

原子的自旋是原子核自旋与核外电子自旋的叠加。分子的自旋是分子中未成对电子自旋之和，未成对电子的自旋导致原子和分子具有顺磁性。

粒子的自旋对于其在统计力学中的性质具有深刻的影响，具有半整数自旋的粒子遵循費米-狄拉克統計，称为费米子，它们必须占据反对称的量子态（参阅全同粒子），这种性质要求费米子不能占据相同的量子态，这被称为泡利不相容原理。另一方面，具有整数自旋的粒子遵循玻色-愛因斯坦統計，称为玻色子，这些粒子可以占据对称的量子态，因此可以占据相同的量子态。对此的证明称为自旋統計定理，依据的是量子力学以及狭义相对论。事实上，自旋与统计的联系是狭义相对论的一个重要结论。

在经典力学中，一个粒子的角动量不仅有大小（取决于粒子转动的快慢），而且有方向（取决于粒子的旋转轴）。量子力学中的自旋同样有方向，但是是以一种更加微妙的形式出现的。

在量子力学中，对任意方向的角动量分量的测量只能取${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i}}$，其中

${\displaystyle s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

s是之前章节讨论过的自旋量子数。可以看出对于给定的s，${\displaystyle s_{z}}$可以取“2s+1”个不同的值，此即为自旋多重态[1]。例如：对于自旋为1/2的粒子，"s_z"只能取两个不同的值，+1/2或-1/2。相应的量子态为粒子自旋分别指向+z或-z方向，一般我们把这两个量子态叫做"spin-up"和"spin-down"。 对于一个给定的量子态，可以给出一个自旋矢量${\displaystyle \langle S\rangle }$，它的各个分量是自旋沿着各坐标轴分量的数学期望值，即${\displaystyle \langle S\rangle =[\langle s_{x}\rangle ,\langle s_{y}\rangle ,\langle s_{z}\rangle ]}$.这个矢量描述自旋所指的“方向”，对应于经典物理下旋转轴的概念。这个矢量在实际做量子力学计算时并不十分有用，因为它不能被直接精準测量：根据不确定性原理，s_x、s_y和s_z不能同时有确定值。但是对于被置于同一个量子态的大量粒子，例如使用施特恩－格拉赫仪器得到的粒子，自旋矢量确实有良好定义的实验意义。

与角動量算符类似，自旋满足对易关系：

${\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k}}$

其中${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$为列维-奇维塔符号。${\displaystyle S^{2}}$与${\displaystyle S_{z}}$的本征值（用狄拉克符号表示）为：

${\displaystyle S^{2}|s,m\rangle =\hbar ^{2}s(s+1)|s,m\rangle }$

${\displaystyle S_{z}|s,m\rangle =\hbar m|s,m\rangle .}$

自旋产生及湮没算符作用于本征矢量上可以得到：

${\displaystyle S_{\pm }|s,m\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m(m\pm 1)}}|s,m\pm 1\rangle ,}$

其中${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$。

然而与轨道角动量所不同的是，自旋的本征矢量不是球谐函数，它们不是${\displaystyle \theta }$和${\displaystyle \phi }$的函数，而且${\displaystyle s}$与${\displaystyle m}$不能取半整数值也只是一种约定，没有具体的含义。

除了其它性质以外，量子力学描述的所有粒子具有内禀自旋（尽管可能出现量子数${\displaystyle S=0}$的情况）。自旋量子数的取值为约化普朗克常数${\displaystyle \hbar }$的整数倍或半整数倍，因此波函数可以写为${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,\sigma )\,,}$而不是${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$，其中${\displaystyle \sigma }$可以取值的集合为：${\displaystyle \sigma \in \{-S\cdot \hbar ,-(S-1)\cdot \hbar ,...,+(S-1)\cdot \hbar ,+S\cdot \hbar \}}$，由此可以区分玻色子（S=0, 1 , 2 , ...）和费米子（S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...）。自旋角动量与轨道角动量之和为总角动量，在相互作用过程中总角动量守恒。

包立不相容原理指出，对于可分辨的N粒子体系，交换其中任意两个粒子，则有：

：${\displaystyle \psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...){\stackrel {!}{=}}(-1)^{2S}\cdot \psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...)\,.}$

因此，对于玻色子，前置因子${\displaystyle (-1)^{2S}}$可简化为+1，而对于费米子为-1。在量子力学中，所有的粒子不是玻色子就是费米子，而在相对论量子场论中存在“超对称”粒子，它们是玻色子成分和费米子成分的线性组合。对于二维体系，前置因子${\displaystyle (-1)^{2S}}$可以取为任何模为1的复数。

电子是自旋量子数S=1/2的费米子；光子是自旋量子数S=1的玻色子。这充分说明自旋这一特性无法完全用经典的内禀轨道角动量来解释，也就是不能认为自旋是像陀螺一样的自转运动，因为轨道角动量只能导致s取整数值。电子一般情况下可以不考虑相对论效应，光子必须采用相对论来处理，而用来描述这些粒子的麦克斯韦方程组，也是满足相对论关系的。

泡利不相容原理非常重要，例如，化学家和生物学家常用的元素周期表就是遵循泡利不相容原理制订的。

如上所述，量子力学指出角动量沿任意方向的分量只能取一系列离散值，量子力学中最普遍的描述粒子自旋的方法是，用一个归一完备的复数集来表示内禀角动量在给定坐标轴方向投影出现的概率。例如，对于自旋1/2的粒子，用${\displaystyle a_{\pm 1/2}}$表示角动量投影出现的概率为${\displaystyle \hbar /2}$和${\displaystyle -\hbar /2}$，它们满足：

${\displaystyle |a_{1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}\,=1.}$

由于这些复数的取值依赖于坐标轴的选取，坐标轴转动变换可以是非平凡的，因此要求采用线性的变换法则，以便将所有的转动通过一个矩阵联系起来，这要求变换必须满足乘法运算，而且必须保持内积不变，因此变换矩阵应当满足：

${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n})^{*}(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k})}$

${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$

用数学语言表述，这些矩阵是SO(3)群的幺正表示，每一个这样的表示对应于SU(2)群的一个表示（SO(3)群是SU(2)群的子群），SU(2)群的每一个不可约表示对应一个维度。例如，自旋1/2的粒子在二维表示下作转动变换，可以用泡利矩阵表示为：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1/2}'\\a_{-1/2}'\end{pmatrix}}=\exp {(i\sigma _{z}\gamma /2)}\exp {(i\sigma _{y}\beta /2)}\exp {(i\sigma _{x}\alpha /2)}{\begin{pmatrix}a_{1/2}\\a_{-1/2}\end{pmatrix}}}$

其中${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$为欧拉角。

同样地，可以用高维群表示描述粒子的高阶自旋变换，参见泡利矩阵相关章节。

我们可以在洛伦兹变换下研究自旋的行为，但与SO(3)群不同，洛伦兹群SO(3,1)是非紧致的，不存在有限维幺正表示。

对于自旋1/2的粒子，有可能构造出保持内积不变的有限维表示。将每个粒子用一个四元狄拉克自旋量${\displaystyle \psi }$来表示，这些旋量在洛伦兹变换下遵守如下规则：

${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\frac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi }$

其中${\displaystyle \gamma _{\mu }}$为伽马矩阵，${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$是一个反对称的${\displaystyle 4\times 4}$矩阵，它将洛伦兹变换参数化。我们可以看到内积表示

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$

保持不变。由于表示矩阵是非正定的，因此不是幺正表示。

量子力学中表示自旋这个可观测量的算符为：

${\displaystyle S_{x}={\hbar \over 2}\sigma _{x}}$

${\displaystyle S_{y}={\hbar \over 2}\sigma _{y}}$

${\displaystyle S_{z}={\hbar \over 2}\sigma _{z}}$

对于自旋为-1/2的情形，${\displaystyle \sigma _{x}}$, ${\displaystyle \sigma _{y}}$和${\displaystyle \sigma _{z}}$为三个泡利矩阵，表示为

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

每个泡利矩阵的哈密顿量有两个本征值：+1和-1。相应的归一化本征矢量为：

${\displaystyle \psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle \psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$.

根据量子力学基本假设，测量沿x，y或z轴的电子自旋的实验只能得到相应坐标轴上自旋算符（${\displaystyle S_{x}}$, ${\displaystyle S_{y}}$, ${\displaystyle S_{z}}$）的本征值：${\displaystyle {\hbar \over 2}}$和${\displaystyle {-\hbar \over 2}}$ 粒子的量子态可以用一个具有两个分量的自旋量来表示：

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}{a+bi}\\{c+di}\end{pmatrix}}}$

当测量给定坐标轴方向（这里取为x轴）的自旋时，测量到自旋为${\displaystyle {\hbar \over 2}}$的概率恰好为${\displaystyle \mid \langle \psi \mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}}$。相应的测量到自旋为${\displaystyle {-\hbar \over 2}}$的概率恰好为${\displaystyle \mid \langle \psi \mid \psi _{x-}\rangle \mid ^{2}}$。经过测量，粒子的自旋将坍缩到相应的本征态。结果导致，如果粒子在给定坐标轴方向的自旋已经被测量出确定的值，所有的测量将得到相同的本征值（因为${\displaystyle \mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}=1}$，依此类推），只要其它坐标轴方向的自旋还没有被测量。

沿任意方向的自旋算符很容易从泡利矩阵导出，令${\displaystyle u=(u_{x},u_{y},u_{z})}$为任意单位矢量，则沿该方向的自旋算符为${\displaystyle \sigma _{u}=\hbar (u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z})/2}$，算符${\displaystyle \sigma _{u}}$具有本征值${\displaystyle \pm \hbar /2}$。对于高自旋态，沿任意方向的自旋算符可以通过它与x,y,z轴三个方向的矢量的内积来确定。

对于自旋-1/2的粒子，一个沿${\displaystyle (u_{x},u_{y},u_{z})}$方向的正交的自旋子为（除了导致0/0的自旋态）：

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{bmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{bmatrix}}.}$

确定上述自旋子的一般方法：将矩阵${\displaystyle \sigma _{u}}$对角化，求取与本征值相应的本征矢量，这样的本征矢量就可以作为自旋子。

由于泡利矩阵是不对易的，因此沿不同方向测量的自旋是不相容的，例如，在我们已知x轴方向的自旋的情况下，测量沿y轴方向的自旋，这样会将我们先前在x轴方向的测量结果否定。这可以从泡利矩阵的本征矢量（本征态）中看出来：

${\displaystyle \mid \langle \psi _{x+/-}\mid \psi _{y+/-}\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{x+/-}\mid \psi _{z+/-}\rangle \mid ^{2}=\mid \langle \psi _{y+/-}\mid \psi _{z+/-}\rangle \mid ^{2}={\frac {1}{2}}}$

因此，假如我们测量到沿x轴方向的自旋是${\displaystyle {\hbar \over 2}}$，这个粒子的自旋将坍缩为本征态${\displaystyle \mid \psi _{x+}\rangle }$；当我们接着测量y轴方向的自旋时，自旋本征态将坍缩到${\displaystyle \mid \psi _{y+}\rangle }$或者${\displaystyle \mid \psi _{y-}\rangle }$，坍缩到这两个本征态的概率都是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$，可以认为这是测量到了${\displaystyle {-\hbar \over 2}}$。当我们再次测量沿x轴的自旋，测量到${\displaystyle {\hbar \over 2}}$或者${\displaystyle {-\hbar \over 2}}$的概率各为${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$（${\displaystyle \mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}}$和${\displaystyle \mid \langle \psi _{x-}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}}$），这说明我们最初沿x轴方向的测量不再正确，因为此时沿x轴方向测量的自旋得到两种本征值的概率是相等的。