三複合正八面體

正八面體可以透過將其頂點置於立方體的一對正方形面的八條稜上內接在立方體內[2]。

對於一個立方體共有三個相對面可以完成上述內嵌的動作，透過這個方式依序將三個正八面體內接在立方體內則可以構成三複合正八面體[2]。三複合正八面體中三個正八面體互相相交的稜，其相交時產生的八個頂點正好也可以構成一個立方體[3]。每組而互相相交的三條稜其交點正好將之分割成長度比為1:√2的兩線段[3]。其餘的八面體邊成對地在立體的內部彼此相交，其交點正好將邊均分為二，這意味著其交點正好位於邊的中點；另外，其交角恰好為直角。

三複合正八面體可透過取三個全等的八面體，先使其重合，並以其中一個正八面體為準，並圍繞著過基準正八面體之兩相對頂點的對稱軸旋轉π/4（45度角），符合上述條件的對稱軸共有三個，三個正八面體每個分別對著三軸的其中一軸旋轉，即可構成三複合正八面體[4]。此外，三複合正八面體也可以對三複合立方體取對偶多面體來構造。

一個最短邊邊長為a的三複合正八面體，其表面積A為[5]：

${\displaystyle A=3{\sqrt {2}}\left(8-5{\sqrt {2}}\right)\,a^{2}\approx 4.83\,a^{2}}$

星形四角化菱形十二面體可以視為3個扁八面體（錐高比正八面體低的雙四角錐），其出現於艾雪的作品《瀑布》中

三複合正八面體的對稱性與單一一個正八面體相同，皆為八面體群對稱性[6]。其可以視為一個等邊三角面多面體，這意味著其面為正三角形，具有面可遞的性質，這意味著，這立體上的任意兩個面A和B，透過旋轉或鏡射這個立體，使A移動到B原來的位置時，其面仍然佔據了相同的空間區域[7]。目前已知的等邊三角面多面體有一個已知的無窮序列，但已知有36種等邊三角面多面體不屬於這個序列，而三複合正八面體正是這36個例外之一[8]。雖三複合正八面體有面可遞的性質，但由於其不具有點可遞的性質因此不屬於均勻多面體複合體。

在三複合正八面體中，由三個正八面體共同相交出來的區域是一個四角化六面體，其具有24個面，並可以視為在立方體的每個面上疊上四角錐的結果[3]。而四角化六面體的面皆可以與三複合正八面體的其中一個面共面，因此三複合正八面體也可以視為是一種星形四角化六面體，即四角化六面體的星形化體。另外有一種形式的四角化六面體也為等邊三角面多面體，其同樣是在立方體的每個面上疊上四角錐的結果，但加入的四角錐之錐高比卡塔蘭立體的四角化六面體更高，使得四角錐的側面變成正三角形（等邊三角形），並形成凹多面體，其正三角形面也與三複合正八面體的面位於相同的平面上；這是另外一個已知也與三複合正八面體的面位於相同的平面上的等邊三角面多面體。第三種已知也與三複合正八面體的面位於相同的平面上的幾何結構是六複合正四面體，其為三複合正八面體的三個正八面體星形化成星形八面體的結果。第四種已知也與三複合正八面體的面位於相同的平面上的幾何結構同樣是三複合正八面體的星形化體，其排列方式與四角化六面體相同，但其加入的是倒錐體，即將立方體的面替換成向內凹陷的四角錐側面。[8]