四角化立方體

若四角化立方體的最短的邊長為a，則其表面積A及體積V為[8]：

表面積${\displaystyle A=a^{2}\times {\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}\approx a^{2}\times 11.9257}$

體積為${\displaystyle V=a^{3}\times {\frac {32}{9}}\approx a^{3}\times 3.5556}$。

若其對偶多面體的截角正八面體邊長為a，則對應的四角化立方體之體積V為[5]：

體積為${\displaystyle V=a^{3}\times {\frac {81{\sqrt {2}}}{8}}\approx a^{3}\times 14.3189}$。

四角化立方體由24個全等的等腰三角形組成[9]。

組成四角化立方體的等腰三角形的2個底角為arccos${\displaystyle \scriptstyle {\left({\tfrac {2}{3}}\right)}}$約為48.19°[10]，由三角形內角關係可知頂角約為83.62°[11][10]，邊長比為1:1:${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}}$[12][10]。

若一個四角化立方體對應的對偶多面體邊長為單位長（對應的四角化立方體最短邊長為${\displaystyle {\tfrac {9{\sqrt {2}}}{8}}}$單位）且幾何中心位於原點，則其頂點坐標為[13]：

${\displaystyle \left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm {\frac {9{\sqrt {2}}}{8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {9{\sqrt {2}}}{8}}\,,\quad 0\,,\quad 0\right)}$

${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm {\frac {9{\sqrt {2}}}{8}}\,,\quad 0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,,\quad \pm {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,,\quad \pm {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\right)}$

四角化立方體具有T_d, [3,3] (*332)的四面體群對稱性，其24個等腰三角形代表四面體對稱的24個基本域。 在球面上，四角化立方體可以透過6個球面大圓來構建。相同的結構也可以透過將立方體在每個正方形面上以正方形的幾何中心為基準將正方形分成四個三角形[14]、或透過將正四面體在每個三角形面上以正三角形的頂點、邊中點和幾何中心為基準將正三角形分成6個三角形來看出。

四角化立方體可以投影到球面上，形成球面多面體[15]。在球極平面投影中，四角化立方體的稜可以在平面上形成6個圓或中心徑向線，每個圓或中心徑向線皆代表四面體群對稱性的鏡射線。這6個圓可以分成3組每兩兩一對的正交圓，這三組正交圓，每組在球面上皆可以視為1個正四面形。

球極平面投影			透視投影		施莱格尔投影
[4]	[3]	[2]	歪斜

四角化立方體的對偶複合體，為四角化立方體和截角八面體組合成的複合圖形，稱為複合截角八面體四角化立方體。其共有38個面、72條邊和38個頂點，其尤拉示性數為4，虧格為-1[25]。

四角化立方體圖有36條邊和14個頂點，其中度為4的頂點有6個、度為6的頂點有8個。[26]

其特徵多項式為[26]：

${\displaystyle x^{2}{\left(x+1\right)}^{3}{\left(x+3\right)}{\left(x^{2}-3x-12\right)}{\left(x^{2}-x-4\right)}^{3}}$