並矢張量

根據與所著作的權威教科書[3]，在三維空間裏，並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 是一個3×3陣列，其分量 ${\displaystyle A_{mn},\ m,n=1,2,3\,}$ ，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守協變變換()的定律。

${\displaystyle A_{ij}'=\sum _{m,n}{\frac {\partial x_{m}}{\partial x_{i}'}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial x_{j}'}}A_{mn}\,}$ ；

其中，${\displaystyle A_{ij}'\,}$ 是變換後的分量。

所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量：

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{11}{\boldsymbol {ii}}+A_{12}{\boldsymbol {ij}}+A_{13}{\boldsymbol {ik}}+A_{21}{\boldsymbol {ji}}+A_{22}{\boldsymbol {jj}}+A_{23}{\boldsymbol {jk}}+A_{31}{\boldsymbol {ki}}+A_{32}{\boldsymbol {kj}}+A_{33}{\boldsymbol {kk}}\,}$ 。

應用點積，並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 可以與向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 綜合在一起：

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}(A_{mn}{\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot \sum _{\ell }(v_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{\ell })\,}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\ell }\,}$ ，都是標準正交基的基底向量。

注意到 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot {\boldsymbol {e}}_{\ell }={\boldsymbol {e}}_{m}\delta _{n\ell }\,}$ ；其中，${\displaystyle \delta _{n\ell }\,}$ 是克羅內克函數。所以，

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}A_{mn}v_{n}{\boldsymbol {e}}_{m}\,}$ ；

這點積運算得到的結果是一個協變向量。

並矢張量的縮併()運算，將每一個並置 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，替換為兩個單位基底向量的點積 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\cdot {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，以方程式表達為

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{m}A_{m}^{m}\,}$ 。

只成立於三維空間，並矢張量的旋轉因子運算，將每一個並置 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，替換為兩個單位基底向量的叉積 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\times {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，以方程式表達為

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle ={\boldsymbol {e}}_{1}(A_{23}-A_{32})+{\boldsymbol {e}}_{2}(A_{31}-A_{13})+{\boldsymbol {e}}_{3}(A_{12}-A_{21})\,}$ 。

這也可以表達為 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 與列維-奇維塔符號 ${\displaystyle \epsilon _{imn}\,}$ 的完全縮併：

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{mn}\epsilon _{imn}A_{mn}\,}$ 。

两个向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}$ 的并矢积 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 其实就是张量积 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\,}$ 。 两个并矢积作形式上的相加就是并矢张量，从而并矢张量和二阶张量（严格地说，是二阶的反变张量）是同义词。力学、电动力学中常见的例子就是单位並矢张量 ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\boldsymbol {ii}}+{\boldsymbol {jj}}+{\boldsymbol {kk}}\,}$ 、转动惯量 ${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint (r^{2}{\mathcal {I}}-{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}})\,\rho \,dV\,}$ 以及馬克士威應力張量等；量子力学中的角动量耦合()理论也要用到并矢张量。

需要注意：并矢积是不可交换的，也就是说，除非两个矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}$ 线性相关，否则一定有 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\neq {\boldsymbol {wv}}\,}$。

在物理学中，并矢张量最重要的应用之一就是它和向量的缩併。对于并矢积 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 和向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}$ 的缩併，规定

${\displaystyle ({\boldsymbol {vw}})\cdot {\boldsymbol {u}}:={\boldsymbol {v}}\,({\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}}):=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}$ 。

如果要求这种规定也适用于量子力学中的态矢量，在这种情况下就要特别注意每个式子右端各个向量的先后顺序：用狄拉克符号来写，则 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\langle u|v\rangle \,}$ 。

设 ${\displaystyle V\,}$ 是域 ${\displaystyle F\,}$ 上的一个线性空间，则下述定义是等价的。

定义1. 对于任意 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，称它们的张量积 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\in V\otimes V\,}$ 为 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ 的并矢积并将其简记为 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ ，称为并矢张量。更加推广，称 ${\displaystyle V\otimes V\,}$ 中的元素为 ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量，或者二阶反变张量。

定义2. 如果有 ${\displaystyle F\,}$ 上的一个线性空间 ${\displaystyle W\,}$ 以及双线性映射 ${\displaystyle \phi :V\times V\rightarrow W\,}$ 满足

(1) ${\displaystyle \forall \mathbf {T} \in W\,}$, ${\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} \,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 使得

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{k}\phi ({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{i})\,}$ ；

(2) 当 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 线性无关时，${\displaystyle \{\phi ({\boldsymbol {v}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{j})\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}$ 是 ${\displaystyle W\,}$ 中的线性无关向量组，

则称 ${\displaystyle W\,}$ 中的元素为 ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量或二阶反变张量，把 ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})\,}$ 记为 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 。

定义3. ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量（或者二阶反变张量）这个概念可以按照下述规则来建立：

(1) 任意向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ 并置摆放形成一个并矢积 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$；

(2) 对于任意的 ${\displaystyle \alpha \in F\,}$ 和任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，规定 ${\displaystyle (\alpha {\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}(\alpha {\boldsymbol {w}})=\alpha ({\boldsymbol {vw}})\,}$ ，并把上述结果不加区分地记作 ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {vw}}\,}$；

(3) 称有限个并矢积的形式和为一个并矢张量；

(4) 对任意正整数 ${\displaystyle k\,}$，如果 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 线性无关，则 ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{i}{\boldsymbol {v}}_{j}\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}$ 是线性无关向量组——特别是， ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}=0\,}$ 的充分必要条件是 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=0\,}$ 或 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=0\,}$；

(5) 对任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}$，成立着分配律

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {uv}}+{\boldsymbol {uw}}\,,\qquad ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {uw}}+{\boldsymbol {vw}}\,}$ 。

注： 所谓形式和，就是说我们既不刻意追究求和的实际含义，也关心求和的结果在哪个集合中，而只是知道这种求和满足交换律和结合律。

既然上述定义等价，我们就把 ${\displaystyle V\,}$ 上所有的并矢张量所构成线性空间记为 ${\displaystyle V\otimes V\,}$。在此基础上，如果 ${\displaystyle V\,}$ 是一个内积空间并把 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$ 的内积记为 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}$（当 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$ 时，约定 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}$ 对 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 是共轭线性的），则定义并矢张量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 和矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 的缩併 ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 都是 ${\displaystyle V\,}$ 中的向量，满足下述运算律：

(6) 对于任意的 ${\displaystyle \alpha \in F,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}$，

${\displaystyle (\alpha \mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {T} \cdot (\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})=\alpha (\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}})\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\alpha \mathbf {T} )=(\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})\cdot \mathbf {T} =\alpha ({\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} )\,}$ ，

从而可以把上述两个结果分别记为 ${\displaystyle \alpha \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$。在上述公式中，${\displaystyle \alpha ^{*}\,}$ 表示 ${\displaystyle \alpha \,}$ 的複共軛（如果 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$）。

(7) 对于任意的 ${\displaystyle \mathbf {S} ,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}$，总有

${\displaystyle (\mathbf {S} +\mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {S} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\mathbf {S} +\mathbf {T} )={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {S} +{\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 。

(8) 对于任意的 ${\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，总有

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {w}}\,,\qquad ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} +{\boldsymbol {w}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 。

(9) 对任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}},\,{\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，总有

${\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}\,({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}})=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}$ 。

下面我们要说明，前面建议的规则 (1) 到 (9) 足以讲清楚二阶张量的运算和性质。

考虑 ${\displaystyle V\,}$ 为欧几里得空间的情形，则 ${\displaystyle V\,}$ 是实数域 ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ 上的有限维线性空间（设 ${\displaystyle \dim V=n\,}$）而且带有正定的内积。设 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}$ 是 ${\displaystyle V\,}$ 的一个基底，则任意 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}$ 都可以作线性展开 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$，${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{n}w^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$。在这里，为了充分演示规则 (1) 到 (9) （见上面的定义3以及并矢张量与向量的缩併）的使用，我们明显地写出了求和号而不使用爱因斯坦求和约定。但是，为了简便，求和的上下限被略去了。

以下运算中，等于号上方的标号是规则的编号。

首先，我们要证明所有的二阶张量都能够用 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 展开。重复地利用规则 (5) 可得

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}={\Big (}\sum _{i}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big )}{\Big (}\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big )}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}{\Big [}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big ]}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\,}$ 。

接下来重复地利用规则 (2) 可得

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}v^{i}(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 。

这样，我们就证明了所有的并矢，即形如 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 的张量都能够写成 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的线性组合。接下来，按照规则 (3) 以及上面的结论，所有的二阶张量最终都能够表达为 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的线性组合。

反之，由规则 (1) 和 (3)，每一个 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 都是一个二阶张量，再由规则 (3)，它们的任意线性组合也是二阶张量。至此，我们证明了二阶张量等价于 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的线性组合。

然后，从规则 (4) 可以证明，全部的 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 是线性无关的，因此构成了 ${\displaystyle V\otimes V\,}$ 的基底。

最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩併最终归结为计算 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})\,{\boldsymbol {e}}_{k}\,}$。特别是，如果所给的基是标准正交基，那么结果就非常简单了。

对于 ${\displaystyle n\,}$ 维欧几里得空间 ${\displaystyle V\,}$ 而言，由于 ${\displaystyle F=\mathbb {R} \,}$，规则 (6) 和 (8) 表明，给定任意一个并矢张量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 之后，从矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$（或者 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$）的映射是线性映射，所以，欧几里得空间上的并矢张量总是对应着它自身上的线性变换。下面要证明，从并矢张量到线性变换的这种对应是满射。为了准确起见，把 ${\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 所对应的 ${\displaystyle V\,}$ 上的线性变换分别记为 ${\displaystyle R_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ ， 则有

引理1. 对于欧几里得空间 ${\displaystyle V\,}$ 上的任意一个线性变换 ${\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}$，总是存在着 ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {T} '\,}$ 使得 ${\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}$, ${\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}$ 。

证明： 由于证明方法类似，我们只证明 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 的存在性。设 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}$ 是 ${\displaystyle V\,}$ 的一个基底（不必是标准正交基），令

${\displaystyle g_{ij}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ ，

则内积的正定性导致 ${\displaystyle g_{ij}\,}$ 所构成的 ${\displaystyle n\times n\,}$ 矩阵 ${\displaystyle G=(g_{ij})\,}$ 为正定矩阵。给了 ${\displaystyle V\,}$ 上的一个线性变换 ${\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}$ 之后，我们可以借助於基底得到一个矩阵 ${\displaystyle T=(\ T_{\ j}^{i}\ )\,}$，其中，上标号是横标号，下标号是竖标号：

${\displaystyle {\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ j}^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$ 。

在这里我们使用了爱因斯坦求和约定。现在我们利用 ${\displaystyle G\,}$ 的逆矩阵

${\displaystyle G^{-1}=(g^{ij})\,,\qquad g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}\,}$ ，

构造一个并矢张量

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\,}$ ，

则

${\displaystyle (R_{\flat }\mathbf {T} ){\boldsymbol {e}}_{j}=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}({\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}\,g_{kj}=T_{\ l}^{i}\delta _{j}^{l}\,{\boldsymbol {e}}_{i}=T_{\ j}^{i}\,{\boldsymbol {e}}_{i}={\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ ，

可见由 ${\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 。

类似地也可以构造一个 ${\displaystyle \mathbf {T} '\in V\otimes V\,}$ ，使之满足 ${\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}$ 。事实上，还可以证明 ${\displaystyle \mathbf {T} '\,}$ 是 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 的转置——用基底来展开，就是说

${\displaystyle \mathbf {T} '=T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{k}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$ 。

结论证毕。

把 ${\displaystyle n\,}$ 维欧几里得空间 ${\displaystyle V\,}$ 上的所有的线性映射所构成的线性空间记为 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)\,}$，则后者的维数为 ${\displaystyle n^{2}\,}$. 由并矢张量和向量的缩併中的规则 (6) 和 (7) 不难得到

引理2. 映射 ${\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto R_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto L_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 都是线性映射。

前面已经分析过，

${\displaystyle \dim(V\otimes V)=n^{2}\,}$ 。

根据引理2和引理1，我们就得到了

定理 映射 ${\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}$ 都是线性同构。

这就是说，对于欧几里得空间来说，它上面的并矢张量和线性变换可以互相等同。一般说来，用 ${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 作等同比较自然些。这种等同就是爱因斯坦在相对论中用所引入的指标升降法(尽管其中的线性空间是闵可夫斯基空间，但是方法是相似的)。具体来说，并矢张量是具有两个上指标的二阶反变张量，而线性变换则是一阶协变一阶反变的张量，${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 就是用度规张量把二阶反变张量的右指标降下来，而 ${\displaystyle L_{\flat }\,}$ 则是把左边的反变指标降下来。

特别是，当 ${\displaystyle {\hat {T}}\,}$ 为恒等映射时，${\displaystyle T_{\ j}^{i}=\delta _{j}^{i}\,}$，从而得到

推论 把 ${\displaystyle V\,}$ 上的单位张量（这是经典力学中的叫法，在相对论中则常常被称为度规张量的逆）定义为与恒等映射相对应的那个并矢张量（不管是 ${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 还是 ${\displaystyle L_{\flat }\,}$，结果都一样），则它可以借助于基底展开为 ${\displaystyle g^{ij}{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 。

在上述讨论过程中我们实际上没有真正用到内积的正定性，而真正实质性的条件有两点：（1）${\displaystyle F=\mathbb {R} \,}$；（2）${\displaystyle G=(g_{ij})\,}$ 可逆。所以欧几里德空间可以放松为 ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ 上带有一个非退化的对称双线性型的线性空间。相对论中所用到的闵可夫斯基空间就是这样的。

• 並矢積
• 张量积
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 线性空间