中一新生之夢

1940年一篇有關模曲線的文章中，桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，體的特徵2「${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}}$」有可能破壞中一新生的代數觀念。言論是可追溯的最早將「中一新生」與體的正數特徵[5]，自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解，其中1974年湯馬士·亨嘉福的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞[6]。別名包括1998年莊·法黎課本中的「」（中文可譯「中一新生之冪」）[7]；又鑑於${\displaystyle (x+y)^{n}}$可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「小孩的二項式定理」（）[8]或「中學生的二項式定理」（）[9]。

至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用[10][11]。

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$，但${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$（即 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ）在大多數情況下都不等於${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$。例如：${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$，而${\displaystyle 3+4=7}$。

當 ${\displaystyle p}$ 是質數，而 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是在具有 ${\displaystyle p}$ 特徵的交換環上的代數，那麼 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證：

第 n 個二項式係數為 ${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}}$。

由於分子是 ${\displaystyle p}$ 的階乘，所以可以被 ${\displaystyle p}$ 整除。不過當 ${\displaystyle 0<n<p}$ 之時，${\displaystyle n!}$ 和 ${\displaystyle (p-n)!}$ 都少於 ${\displaystyle p}$，因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數，因此第 n 個二項式係數可被 ${\displaystyle p}$ 整除，交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式係數，因此可證 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$。結果也證明 p 次方製造了自同态，又稱交換環的弗罗贝尼乌斯自同态[8]。

在此方程中，${\displaystyle p}$ 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出，當 ${\displaystyle p}$ 是質數的話，在${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$多项式环中，${\displaystyle (x+1)^{p}\equiv x^{p}+1}$。此定理成為現代質數測試中的關鍵[8]。

• 一年級生
• 素性测试
• 弗罗贝尼乌斯自同态
• 二年級之夢