独立集

独立集（英语：Independent set）是图论中的概念。一个独立集（也称为稳定集）是一个图中一些两两不相邻的顶点所形成的集合。换句话说，独立集 $S$ 由图中若干顶点组成，且 $S$ 中任两个顶点之间没有边。等价地，图中的每条边至多有一个端点属于 $S$ 。一个独立集的基数是它包含顶点的数目。

圖中九個藍色的頂點是延伸佩特森圖GP(12,4)中的一个最大独立集

如果往图 $G$ 的独立集 $S$ 中添加任一个顶点都会使独立性丧失（亦即造成某两点间有边），那么称 $S$ 是极大独立集。如果 $S$ 是图中所有独立集之中基数最大的，那么称 $S$ 是最大独立集，且将该基数称为 $G$ 的独立数，记为 $\alpha (G)$ [1]。一般来讲，图 $G$ 中可能存在多个极大独立集；最大独立集亦如是。最大独立集一定是极大独立集，但反之未必。

给定一张图，寻找其中一个最大独立集的问题被称为最大独立集问题。该问题已知是NP困难的最优化问题，且即便试图以常数倍近似也是NP困难的。因此，计算机科学家普遍相信不存在解决该问题的高效算法，无论是精确求解还是以常数倍近似求解。

数学定义

对于图 $G=(V,E)$ ，如果顶点子集 $S\subseteq V$ 满足 $\forall u,v\in S,\{u,v\}\not \in E$ ，则称 $S$ 为 $G$ 的一个独立集，称 $|S|$ 为该独立集的基数。

对于独立集 $S$ ，如果 $\forall v\in V\setminus S,\exists u\in S:\{u,v\}\in E$ ，则称 $S$ 是极大独立集。直观而言，极大意味着 $S$ 不能单纯通过加入顶点来扩充。

如果 $|S|$ 是所有独立集中最大的，那么称 $S$ 是最大独立集，并将 $|S|$ 称作 $G$ 的独立数（independence number），记作 $\alpha (G)$ 。最大独立集一定是极大独立集；若不然，我们总能加入顶点来扩充之，从而与最大的定义矛盾。

整数规划形式

计算独立数 $\alpha (G)$ 的问题可以等价表达成如下的整数规划：

{\begin{aligned}\max \quad &\sum _{v\in V}x_{v}\\{\text{s.t.}}\quad &x_{u}+x_{v}\leq 1&\forall \{u,v\}\in E\\&x_{v}\in \{0,1\}&\forall v\in V\end{aligned}}

其中，变量 $x_{v}$ 取1代表把顶点 $v$ 放入独立集，取0则反之。第一条线性约束表达了每条边的两个端点不能同时放入独立集中。

与其它图论对象的联系

与顶点覆盖的关系

图的一个顶点覆盖（vertex cover）是顶点集的一个子集，使得图中每条边都与其中某点相邻。基数最小的顶点覆盖称为图的最小顶点覆盖。独立集与顶点覆盖的定义互补，因此不难看出， $S$ 是图 $G$ 的独立集当且仅当 $V\setminus S$ 是 $G$ 的顶点覆盖。于是， $\alpha (G)$ 就等于 $G$ 的顶点数减去 $G$ 的最小顶点覆盖的基数。

与团的关系

在图论中，团（clique）是一个与独立集密切相关的概念。图 $G=(V,E)$ 的一个团指的是一个顶点子集 $C\subseteq V$ ，使得 $C$ 中顶点两两相邻。用图论的语言，团即一个完全的子图。 $G$ 的最大团的基数称作 $G$ 的团数（clique number），记作 $\omega (G)$ 。如果说独立集是一种水火不容的顶点集，那么团就是一种息息相关的顶点集。不难看出，一个图的团是其补图的独立集，反之亦然。这个一一对应关系使得二者性质能够相互转述，而与二者相关的问题往往等价。例如，图的团数等于其补图的独立数，即 $\omega (G)=\alpha ({\overline {G}})$ 。类似地，图 $G$ 中团的总数等于补图 ${\overline {G}}$ 中独立集的总数。

对于一般的图而言，寻找最大团是NP困难的，从而寻找最大独立集也是NP困难的。计算机科学家普遍相信没有算法能在确定性多项式时间解决之。但是，对于二分图这一特殊情形，则有多种方法可以高效地求解。例如，可以求解松弛后的线性规划并对结果作整数化处理，也可以使用匈牙利算法求出最小顶点覆盖后再转化为最大独立集。

与点连通度的关系

图的点连通度 $\kappa (G)$ 定义为：最少需要删除 $\kappa (G)$ 个顶点方能使得图不复连通。独立数与点连通度有着简单关系

\kappa (G)\leq n-\alpha (G)

原因是：设 $S$ 是一个最大独立集，把 $V\setminus S$ 的顶点全部删掉以后，残余下来的正是独立集 $S$ ，而它自然是不连通的。

与着色数的关系

图的着色（proper colouring）即为每个顶点染上一种颜色，使得任意相邻顶点颜色均不同（但不相邻顶点颜色可以相同）。对图 $G$ 进行着色所需的最少颜色数被称为 $G$ 的着色数，记作 $\chi (G)$ 。独立数和着色数之间存在以下关系：

{\frac {n}{\alpha (G)}}\leq \chi (G)\leq n-\alpha (G)+1

其中 $n$ 是 $G$ 中的顶点数。

证明

左侧不等式：设着色 $f:V\to [\chi (G)]$ 是一个使用颜色最少的方案，我们构造 $\chi (G)$ 个集合 $S_{1},\dots ,S_{\chi (G)}$ 如下。 $S_{i}:=\{v\in V\mid f(v)=i\}$ 。也就是说，把颜色相同的节点放入同一个集合。这些集合构成了顶点集的一个划分，所以 ${\textstyle n=\sum _{i=1}^{\chi (G)}|S_{i}|}$ 。注意到每个集合都各是一个独立集（因为相同颜色的顶点之间不允许有边），所以 $|S_{i}|\leq \alpha (G)$ 对它们均成立。代入先前等式便有 ${\textstyle n\leq \chi (G)\cdot \alpha (G)}$

右侧不等式：设 $S$ 是一个最大独立集，我们据此构造一种着色 $f$ 。首先， $f$ 给 $S$ 中所有顶点均染上颜色1（这必定不会造成冲突）。其次， $f$ 给其余顶点分配互异且非1的颜色。容易看出 $f$ 仅仅使用了 $1+|V\setminus S|=1+n-\alpha (G)$ 种颜色，因此着色数必定不少于该数。

计算复杂性

求最大独立集是计算机科学中的重要问题，因为许多现实场景可以抽象成该问题。例如，人们希望组织一场会议，候选的某些演讲者之间或有嫌隙，不愿同时出席。可以将这种候选人之间敌意关系抽象成一张图，两个候选人间有边当且仅当二者不和。那么，最终的演讲者名单就应当是这张图的一个独立集。会议组织者希望邀请尽可能多的演讲者以充实内容，也就相当于寻找图中的最大独立集。

然而，计算复杂性理论在以下两方面的进展暗示该问题难以求解。

判定版本的NP完备性

考虑最大独立集问题的判定版本：给定一张图和一个目标 $I$ ，图中是否存在一个独立集的基数不小于 $I$ ？在先前的例子中，相当于：会议组织者预先设定了一个目标邀请人数，问这个目标能否实现？其实，判定版本并不比原始版本简单。假设我们能够高效解决判定版本，那么也可以借助自归约性质（self-reducibility），相对高效地解决原始版本。

最大独立集问题的判定版本是NP完备的，这意味着，除非 ${\textsf {P}}={\textsf {NP}}$ （而人们普遍相信这是不可能的），否则不存在确定性多项式时间算法解决之。其完备性的证明可以参见[2]。

优化版本的不可近似性

考虑最大独立集问题的优化版本：给定一张图 $G$ ，计算 $\alpha (G)$ 。该问题是MAXSNP完备的，这意味着，除非 ${\textsf {P}}={\textsf {NP}}$ ，否则不存在确定性多项式时间算法能以任意精度近似之（PTAS）。

还可以证明：假若存在某个高效算法能以某常数 $c>0$ 为近似比计算该问题，那么就能据此构造出一个以任意精度近似计算该问题的高效算法（PTAS）。结合前面的结论可知：除非 ${\textsf {P}}={\textsf {NP}}$ ，否则不存在高效算法能以常数倍近似计算该问题。[3]

参考资料

Chris Godsil and Gordon Royle. . New York: Springer. 2001: p. 3. ISBN 0-387-95220-9.
Sipser, Michael. . Cengage Learning. 2013: pp. 311–313. ISBN 978-1-133-18779-0.
Papadimitriou, Christos H. . Addison Wesley Longman. 1994: pp. 309–322. ISBN 0-201-53082-1.

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[1] Chris Godsil and Gordon Royle. . New York: Springer. 2001: p. 3. ISBN 0-387-95220-9.

[2] Sipser, Michael. . Cengage Learning. 2013: pp. 311–313. ISBN 978-1-133-18779-0.

[3] Papadimitriou, Christos H. . Addison Wesley Longman. 1994: pp. 309–322. ISBN 0-201-53082-1.