線圖

根据线图的定义，若性质／概念P仅取决于原图${\displaystyle G}$中边的邻接性，那么P便可以转移（或者说对偶）到线图${\displaystyle L(G)}$上去变成性质／概念P'，刻画线图顶点的邻接属性。例如，图${\displaystyle G}$中的一个匹配指的是图中一组不相交的边，把这一概念平移到线图上去，就等价于线图的一组不相邻的顶点——用术语来说即线图上的一个独立集。

下面就列举了原图和线图之间的若干联系：

• 若原圖是連通的，線圖也是。
• 若两个图同构，那么它们的线图也同构。
• 若${\displaystyle G}$的顶点数和边数分别为${\displaystyle n}$和${\displaystyle m}$，那么${\displaystyle L(G)}$的顶点数和边数分别是${\displaystyle m}$和${\textstyle \sum _{v}{\binom {\deg(v)}{2}}}$。
• ${\displaystyle \chi _{E}(G)=\chi _{V}(L(G))}$，即原圖的邊色數等於線圖的點色數。
• ${\displaystyle G}$中的一个匹配对应了${\displaystyle L(G)}$中的一个独立集，且其大小相等。于是，${\displaystyle G}$中最大匹配的大小等于${\displaystyle L(G)}$最大独立集的大小。借助这一关系，可以通过求解后者来求解前者，但反之不总是可行，因为并非所有图都能表示为某个${\displaystyle G}$的线图。在计算机科学中，最大匹配问题和最大独立集问题是两个重要的问题。前者已经被高效解决（Edmonds' Blossom Algorithm）；而后者则是NP完全问题，被普遍认为无法高效求解。
• 若${\displaystyle G}$存在欧拉回路，则${\displaystyle L(G)}$存在哈密顿回路，但反之不然。

惠特尼同构定理[1]阐述了以下事实：设有连通图${\displaystyle G_{1}}$和${\displaystyle G_{2}}$且它们均不是三角形${\displaystyle K_{3}}$或爪形${\displaystyle K_{1,3}}$。如果${\displaystyle L(G_{1})\cong L(G_{2})}$，那么${\displaystyle G_{1}\cong G_{2}}$。也就是说，除了极特殊的情形，图${\displaystyle G}$的结构可以由线图${\displaystyle L(G)}$的结构中唯一地恢复出来。

任何的线图都是无爪的，亦即不包含${\displaystyle K_{1,3}}$作为导出子图。因此，任意含有偶数个顶点的连通线图都存在完美匹配。

线图${\displaystyle L(G)}$的邻接矩阵${\displaystyle A_{m\times m}}$的全部特征值都不小于-2。这是因为${\displaystyle A=J^{\operatorname {T} }J-2I}$，其中${\displaystyle J_{n\times m}}$是原图${\displaystyle G}$的关联矩阵（incidence matrix）。又由于矩阵${\displaystyle J^{\operatorname {T} }J}$是半正定的，所以${\displaystyle A}$的任何特征值${\displaystyle \lambda }$均满足${\displaystyle \lambda +2\geq 0}$。