二十四邊形

正二十四邊形是指所有邊等長、所有角等角的二十四邊形，由24條相同長度的邊和24個相同大小的角構成，是一種正多邊形。正二十四邊形的內角是${\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}$弧度，換算成角度是165度。在施萊夫利符號中用${\displaystyle \left\{24\right\}}$來表示。由於正二十四邊形可看作是截去所有頂點的正十二邊形，即截角的正十二邊形，因此施萊夫利符號中也可以計為 ${\displaystyle t\left\{12\right\}}$。而正十二邊形又可看作是截去所有頂點的正六邊形，即截角的正六邊形，因此正二十四邊形在施萊夫利符號中也可以計為 ${\displaystyle tt\left\{6\right\}}$。而因為正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造，即切去正三角形的三個頂點，因此正二十四邊形可以視為正三角形經過3次的截角變換的結果，在施萊夫利符號中亦可以使用 ttt{3} 表示。

正二十四邊形的內角為165度，因此其中心角為15度，其對應的直角三角形角度為7.5度，其餘切值為[2]：

${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cot \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)}$

由此可得到正二十四邊形的面積為：

${\displaystyle A=6t^{2}\cot {\frac {\pi }{24}}={6}t^{2}(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}})}$

正二十四邊形與正六邊形、正四十八邊形和正九十六邊形出現在阿基米德多邊形的圓週率逼近[3]和刘徽的割圓術中[4]。

二十四邊形的對稱性。藍色對稱軸經由頂點繪製，紫色對稱軸經由邊緣繪製。旋轉對稱階數可由中心確定

正二十四邊形具有Dih₂₄的二面體群對稱性，且其對稱階數為四十八階。正二十四邊形的二面體群對稱群共有7個子群，這些子群可以分成兩組，其中一組有Dih₁₂二面體群、Dih₆二面體群、Dih₃二面體群另外一組的四個子群分別為Dih₈二面體群、Dih₄二面體群、Dih₂和Dih₁二面體群。此外，其在旋轉對稱性中，其循環群更多達八個，他們同樣可以分成兩組，其中一組有Z₂₄、Z₁₂、Z₆、Z₃，另外一組的四個循環群分別為Z₈、Z₄、Z₂和Z₁。

這16種對稱性可以在二十四邊形上的22個不同的對稱性中看到。康威將其依照群的階數以不同的字母做標記[6]。對稱性最高，即具有所有48條對角線的是r48，例如正二十四邊形，沒有對稱性也就是沒有任何對稱軸的是a1，例如不規則二十四邊形。 二面體群的對稱性是取決於他們是否通過頂點（d、對角線）或邊(p邊上的內切圓直徑)劃分，然後i表示邊或頂點在鏡射線的路徑上。中間一列的循環群對稱性以g和其旋轉對稱的階數表示。

每個子組對稱性允許一個或多個自由不規則形式。只有g24子群沒有自由度，但可以看作是有向邊。

部分圖形與二十四邊形相關，例如二十四角星，同樣由二十四條邊組成，但是具有邊自我相交的性質。

二十四角星

二十四角星是一種具有24個邊的星形多邊形。其中有3個正圖形，其在施萊夫利符號中表示為：{24/5}、{24/7}和{24/11}。另外有7種具有相同的頂點布局，在施萊夫利符號中表示為：2{12}、3{8}、4{6}、6{4}、8{3}、3{8/3}、和2{12/5}。

正二十四角星

形式	凸多邊形	複合多邊形			星形多邊形	複合多邊形
圖像	{24/1}={24}	{24/2}=2{12}	{24/3}=3{8}	{24/4}=4{6}	{24/5}	{24/6}=6{4}
內角	165°	150°	135°	120°	105°	90°
形式	星形多邊形	複合多邊形			星形多邊形	複合多邊形
圖像	{24/7}	{24/8}=8{3}	{24/9}=3{8/3}	{24/10}=2{12/5}	{24/11}	{24/12}=12{2}
內角	75°	60°	45°	30°	15°	0°

此外亦有一些等角但不等邊的二十四角星，可藉由正十二邊形{12}或十二角星{12/5}經過反截角或更深的截角來構造。這也產生了兩個半截角的圖形，其在施萊夫利符號中表示為：t{12/11}={24/11}和t{12/7}={24/7}[7]。

半正二十四角星

擬正	等角					擬正
t{12}={24}						t{12/11}={24/11}
t{12/5}={24/5}						t{12/7}={24/7}

圖

K₂₄完全圖經常會被以正二十四邊形的圖形繪製來描述其36條連接邊。這個圖與二十三維正二十四胞體的正投影圖同為24個頂點和276條邊。

二十三維正二十四胞體

另外K₂₄完全圖也顯示了二十四邊形的252條對角線。

扭歪二十四邊形，又稱不共面二十四邊形，是指頂點並非完全共面的二十四邊形。

三個正扭歪二十四邊形

{12}#{ }	{12/5}#{ }	{12/7}#{ }

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• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Naming Polygons and Polyhedra（页面存档备份，存于）
• (simple) polygon（页面存档备份，存于）
• icosatetragon（页面存档备份，存于）